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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 8

Use a definição de T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 dada na Fórmula (3) para provar que

  1. T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 é uma transformação linear.
  2. T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 3 .
  3. T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 3 )

Passo 1

Beleza galera, a Fórmula (3) é dada por

( T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u

Passo 2

Então na letra (a), precisamos provar que a composição ´um transformação linear, pra isso a gente precisa mostrar que ela respeita duas propriedades

  1. T k v = k T ( v ) [Homogeneidade]
  2. T u + v = T u + T ( v ) [Aditividade]

Logo, temos que

T 3 T 2 T 1 k u = T 3 T 2 k T 1 u = T 3 k T 2 T 1 u = k T 3 T 2 T 1 u

E para aditividade

T 3 T 2 T 1 u + v = T 3 T 2 T 1 u + T 1 ( v ) = T 3 T 2 T 1 u + T 2 T 1 v

T 3 T 2 T 1 u + v = T 3 T 2 T 1 u + T 3 T 2 T 1 v

Portanto a composição é uma transformação linear.

Passo 3

Na letra (b), temos que mostrar que T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 = ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 1

( T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u

( ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u

Logo

( T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u = ( ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 1 ) ( u )

Passo 4

E na letra (c) temos algo muito parecido com a letra (b), só que agora temos que mostrar que T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 3 )

( T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u

( T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 1 ) ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u

Logo

( T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u = ( T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 1 ) ) ( u )

Resposta

  1. Demonstração
  2. ( T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u = ( ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 1 ) ( u )
  3. ( T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 ) ( u ) = T 3 T 2 T 1 u = ( T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 1 ) ) ( u )
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