Seja T : R 3 → R 3 a projeção ortogonal de R 3 sobre o plano x y . Mostre que T ∘ T = T .

Passo 1

Beleza galera, como temos uma projeção ortogonal no plano x y , sabemos que esse plano é nossa imagem, já que todos os vetores serão projetados nele. E o vetor ortogonal é projetado inteiramente no plano, ou seja, vai ser levado no 0 , e esse vetor é o eixo z . Então podemos escrever nossa transformação

T x ,   y ,   z = ( x ,   y ,   0 )

Passo 2

Então temos que aplicar essa transformação dentro dela mesma, isto é

T ∘ T = T T x ,   y ,   z       e       T x ,   y ,   z = ( x ,   y ,   0 )

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T ∘ T = T x ,   y ,   0

E temos que aplicar a transformação T mais uma vez, só que agora em vez de usarmos ( x ,   y ,   z ) temos que aplicar em ( x ,   y ,   0 )

T x ,   y ,   0 = ( x ,   y ,   0 )

E é exatamente igual a uma única transformação T x ,   y ,   z = ( x ,   y ,   0 ) .

Resposta

Demonstração

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