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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.3 - Ex. 16

Sejam T : V → U   e   U → w transformações lineares. Suponha que os espaços vetoriais V ,   U   e   w são de dimensão finita. Sejam A   e   B matrizes tais que o produto A B esteja definido. Mostre que

a) p o s t o S T ≤ p o s t o ( S )

b) . p o s t o A B ≤ p o s t o ( A )

c) p o s t o A B ≤ p o s t o ( B ) .

d) p o s t o S T ≤ p o s t o ( T ) .

e) Se S e injetiva, então p o s t o S T = p o s t o ( T ) .

f) Se T e sobrejetiva, então p o s t o S T = p o s t o ( S ) .

g) Dê um exemplo em que p o s t o T = p o s t o S > p o s t o ( S T ) .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → U   e   U → w transformações lineares. Suponha que os espaços vetoriais V ,   U   e   w são de dimensão finita. Sejam A   e   B matrizes tais que o produto A B esteja definido. Mostre que

a) p o s t o S T ≤ p o s t o ( S )

b) . p o s t o A B ≤ p o s t o ( A )

c) p o s t o A B ≤ p o s t o ( B ) .

d) p o s t o S T ≤ p o s t o ( T ) .

e) Se S e injetiva, então p o s t o S T = p o s t o ( T ) .

f) Se T e sobrejetiva, então p o s t o S T = p o s t o ( S ) .

g) Dê um exemplo em que p o s t o T = p o s t o S > p o s t o ( S T ) .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

T : V → U   e   U → w

Supondo que os espaços vetoriais V ,   U   e   w , temos que na letra (a)

p o s t o S T ≤ p o s t o ( S )

dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( S )

Na letra (b) para,

p o s t o A B ≤ p o s t o ( A ) temos,

dim ⁡ N A B < dim ⁡ ( N ( A ) )

Na letra ( c ) para,

p o s t o A B ≤ p o s t o ( B ) , temos

dim ⁡ N A B < dim ⁡ ( N ( B ) )

Na letra (d) para,

p o s t o S T ≤ p o s t o ( T ) temos,

dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( N ( T ) )

Passo 3

Na letra (e) para

S injetiva, com p o s t o S T = p o s t o ( T ) temos

dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( N ( T ) )

Na letra (f) para,

T e sobrejetiva, com p o s t o S T = p o s t o ( S ) temos

dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( S )

E por fim na letra (g) para,

p o s t o T = p o s t o S > p o s t o ( S T )

dim ⁡ N S < dim ⁡ ( S T )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( S )

b) dim ⁡ N A B < dim ⁡ ( N ( A ) )

c) dim ⁡ N A B < dim ⁡ ( N ( B ) )

d) dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( N ( T ) )

e) dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( N ( T ) )

f) dim ⁡ N S T < dim ⁡ ( S )

g) dim ⁡ N S < dim ⁡ ( S T )

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