Sejam T 1 : P n → P n e T 2 : P n → P n os operadores lineares dados por T 1 p ( x ) = p ( x - 1 ) e T 2 p ( x ) = p ( x + 1 ) . Encontre ( T 1 ∘ T 2 ) ( p x )   e ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) .

Passo 1

Show de bola galera, a gente sabe que de acordo com a Definição 1,”Se T 1 : U → V e T 2 : V → W forem transformações lineares, então a composição de T 2 com T 1 , denotada por T 2 ∘ T 1 é a aplicação definida pela fórmula

T 2 ∘ T 1 u = T 2 ( T 1 u )

Em que u é um vetor em U .

Passo 2

Então pra encontrarmos ( T 1 ∘ T 2 ) ( p x ) , temos que

T 1 ∘ T 2 p x = T 1 ( T 2 ( p x )

T 2 p x = p ( x + 1 )

T 1 ( T 2 p x = T 1 p x + 1

T 1 p x = p x - 1 ⇒ T 1 p x + 1 = p x + 1 - 1 = p ( x )

Portanto T 1 ∘ T 2 p x = p ( x )

Passo 3

Agora pra encontrarmos ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) , temos que

T 2 ∘ T 1 p x = T 2 ( T 1 ( p x )

T 1 p x = p x - 1

T 2 ( T 1 p x = T 2 ( p x - 1 )

T 2 p x = p x + 1 ⇒ T 2 p x - 1 = p x - 1 + 1 = p ( x )

Portanto ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) = p ( x )

Resposta

T 1 ∘ T 2 p x = p ( ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) = p ( x )

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