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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 4

Sejam T 1 : P n → P n e T 2 : P n → P n os operadores lineares dados por T 1 p ( x ) = p ( x - 1 ) e T 2 p ( x ) = p ( x + 1 ) . Encontre ( T 1 ∘ T 2 ) ( p x )   e ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) .

Passo 1

Show de bola galera, a gente sabe que de acordo com a Definição 1,”Se T 1 : U → V e T 2 : V → W forem transformações lineares, então a composição de T 2 com T 1 , denotada por T 2 ∘ T 1 é a aplicação definida pela fórmula

T 2 ∘ T 1 u = T 2 ( T 1 u )

Em que u é um vetor em U .

Passo 2

Então pra encontrarmos ( T 1 ∘ T 2 ) ( p x ) , temos que

T 1 ∘ T 2 p x = T 1 ( T 2 ( p x )

T 2 p x = p ( x + 1 )

T 1 ( T 2 p x = T 1 p x + 1

T 1 p x = p x - 1 ⇒ T 1 p x + 1 = p x + 1 - 1 = p ( x )

Portanto T 1 ∘ T 2 p x = p ( x )

Passo 3

Agora pra encontrarmos ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) , temos que

T 2 ∘ T 1 p x = T 2 ( T 1 ( p x )

T 1 p x = p x - 1

T 2 ( T 1 p x = T 2 ( p x - 1 )

T 2 p x = p x + 1 ⇒ T 2 p x - 1 = p x - 1 + 1 = p ( x )

Portanto ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) = p ( x )

Resposta

T 1 ∘ T 2 p x = p ( ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) = p ( x )

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Seja T 1 : V → V a dilatação T 1 v = 4 v . Encontre um operador linear T 2 : V → V tal que T 1 ∘ T 2 = I e T 2 ∘ T 1 = I .
Suponha que as transformações lineares T 1 : P 2 → P 2 e T 2 : P 2 → P 3 sejam dadas pelas fórmulas T 1 p x = p ( x + 1 ) e T 2 p x = x p x . Encontre ( T 2 ∘ T 1 ) ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) .
Em cada caso, encontre T 2 ∘ T 1 x ,y . T 1 x ,y = 2 x ,3 y ,T 2 x ,y = x - y ,x + y T 1 x ,y = x - 3 y ,0 ,T 2 x ,y = ( 4 x - 5 y ,3 x - 6 y ) T 1 x ,y = 2 x ,- 3 y ,x + y ,T 2 x ,y ,z = ( x - y ,y +
Em cada caso, encontre T 2 ∘ T 1 x ,y . T 1 x ,y = - 2 y ,3 x ,x - 2 y ,T 2 x ,y ,z = y ,z ,x ,T 3 x ,y ,z = ( x + z ,y - z ) T 1 x ,y = x + y ,y ,- x ,T 2 x ,y ,z = 0 ,x + y + z ,3 y ,T 3 ( 3 x + 2 y
Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão 2 . Se a matriz de T em relação a uma certa base B de V é a b c d Mostrar que T 2 - a + d T + a d - b c I = 0 (operador nulo)