Consideremos o operador linear
e as bases , e canônica. Determinar , e .
Passo 1
A questão forneceu uma transformação linear e pede para escrevermos a matriz de transformação em diferentes bases. Vamos fazer primeiro na base canônica:
Assim
Passo 2
Agora vamos tentar escrever . Para isso, vamos calcular a transformação sobre os vetores da base de :
Passando para a base :
Assim, vemos que e . Logo,
Analogamente,
Logo, e :
Desta forma, a matriz será
Passo 3
Por fim, vamos procurar :
Escrevendo na base :
Assim,
Resolvendo esse sistema, encontramos e . Assim,
Da mesma forma,
Assim,
Resolvendo o sistema, temos e . Assim,
Portanto, a matriz de transformação nessa base será