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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 7

Seja T : P 2 → P 2 o operador linear definido por T p x = p ( 2 x + 1 ) , ou seja,

T c 0 + c 1 x + c 1 x 2 = c 0 + c 1 2 x + 1 + c 2 2 x + 1 2

  1. Encontre T B em relação à base B = { 1 .   x ,   x 2 } .
  2. Use o procedimento de três passos ilustrado no Exemplo 2 para calcular T ( 2 - 3 x + 4 x 2 ) .
  3. Confira o resultado obtido na parte (b) calculando diretamente T ( 2 - 3 x + 4 x 2 ) .

Passo 1

Show de bola então galera, pra gente encontrar a matriz T B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4), temos que dada a base B = { u 1 ,   u 2 ,   ⋯ ,   u n }

T B = T u 1 B T u 2 B ⋯ T u n B ]  

Passo 2

Então na letra (a), temos

T u 1 B = T 1 = 1 + 0 2 x + 1 + 0 2 x + 1 2 = 1 = 1 0 0

T u 2 B = T x = 0 + 2 x + 1 + 0 2 x + 1 2 = 2 x + 1 = 1 2 0

T u 3 B = T x 2 = 0 + 0 2 x + 1 + 2 x + 1 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1 4 4

Portanto

T B = 1 1 1 0 2 4 0 0 4

Passo 3

Na letra (b),

Passo 1: temos que o vetor x → em T ( 2 - 3 x + 4 x 2 ) escrito na base B é x → = ( 2 ,   - 3 ,   4 )   ou

x B = 2 - 3 4

Passo 2: Multiplicando x B pela matriz T B encontrada na parte (a), obtemos

T B x B = 1 1 1 0 2 4 0 0 4 2 - 3 4 = 3 10 16 = T ( x ) B

Passo 3: Reconstruindo T x = T ( 2 - 3 x + x 2 ) a partir de T ( x ) B , obtemos

T 2 - 3 x + x 2 = 3 + 10 x + 16 x 2

Passo 4

Na letra (c), calculando diretamente,

T p x = p 2 x + 1 ⇒ T 2 - 3 x + x 2 = 2 - 3 2 x + 1 + 2 x + 1 2 ⇒

T 2 - 3 x + x 2 = 2 - 6 x - 3 + 4 x 2 + 4 x + 1 = 3 + 10 x + 16 x 2

De acordo com o resultado encontrado na letra (b).

Resposta

  1. T B = 1 1 1 0 2 4 0 0 4 .
  2. T 2 - 3 x + x 2 = 3 + 10 x + 16 x 2 .
  3. T 2 - 3 x + x 2 = 3 + 10 x + 16 x 2 .
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