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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 9

Sejam v 1 = 1 3 e v 2 = - 1 4 e seja

A = 1 3 - 2 5

A matriz de T : R 2 → R 2 em relação á base B = { v 1 ,   v 2 } .

  1. Encontre T v 1 B e T v 2 B .
  2. Encontre T ( v 1 ) e T ( v 2 ) .
  3. Encontre uma fórmula para T x 1 x 2 .
  4. Use a fórmula obtida em (c) para calcular T 1 1 .

Passo 1

Show de bola então galera, nós já temos a matriz T B que é a matriz dada A , como sabemos que dada a base B = { v 1 ,   v 2 }

T B = T v 1 B T v 2 B  

Ou seja

A = T v 1 B T v 2 B

A = 1 3 - 2 5

Logo T v 1 B = 1 - 2 e T v 2 B = 3 5

Passo 2

Então na letra (b), como já temos T v 1 B e T v 2 B , sabemos que dado T v 1 B = a b

T v 1 = a 1 ,   3 + b ( - 1 ,   4 )

T v 1 = 1 ,   3 - 2 - 1 ,   4 = ( 3 ,   - 5 )

E para T ( v 2 )

T v 2 = 3 1 ,   3 + 5 - 1 ,   4 = ( - 2 ,   29 )

Portanto T v 1 = 3 - 5 e T v 2 = - 2 2 9

Passo 3

Na letra (c) galera, vamos combinar os vetores v 1 e v 2 para gerar os vetores canônicos de R 2 e assim montarmos a matriz de T

1 ,   0 = a 1 ,   3 + b - 1 ,   4 ⇒ a - b = 1 3 a + 4 b = 0 ⇒ a = 4 7 b = - 3 7

T 1 ,   0 = a T 1 ,   3 + b T - 1 ,   4 ⇒ 4 7 3 ,   - 5 - 3 7 - 2 ,   29 = 18 7 ,   - 107 7

0 ,   1 = a 1 ,   3 + b ( - 1 ,   4 )   ⇒ a - b = 0 3 a + 4 b = 1 ⇒ a = - 1 7 b = 1 7

T 0 ,   1 = a T 1 ,   3 + b T - 1 ,   4 ⇒ - 1 7 3 ,   - 5 + 1 7 - 2 ,   29 = 1 7 ,   24 7

Logo

T 1 0 0 1 = 18 7 1 7 - 107 7 24 7

T = 18 7 1 7 - 107 7 24 7

Portanto

T x 1 x 2 = 18 7 1 7 - 107 7 24 7 x 1 x 2

Passo 4

Então para T 1 1

T 1 1 = 18 7 1 7 - 107 7 24 7 1 1 = 19 7 - 83 7

Resposta

  1. T v 1 B = 1 - 2 e T v 2 B = 3 5 .
  2. T v 1 = 3 - 5 e T v 2 = - 2 29 .
  3. T x 1 x 2 = 18 7 1 7 - 107 7 24 7 x 1 x 2 .
  4. T 1 1 = 19 7 - 83 7 .
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Se E = u → ,v → ,w → é base, que condições deve satisfazer m para que F = u → + v → ,m v → - w → ,u → + m w → seja base? Escreva a matriz de mudança de base de E para F .
Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = v → - u → ,u → - w → ,u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .
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Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 para a base F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1