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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 3

Seja T : P 2 → P 2 a transformação linear definida por T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 1 x - 1 + a 2 x - 1 2 .

  1. Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas B = 1 ,   x ,   x 2 e   B ' = { 1 ,   x } de P 2 e P 1 .
  2. Verifique que a matriz T B obtida na parte (a) satisfaz a Fórmula (8) com qualquer vetor x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 em P 2 .

Passo 1

Show de bola então galera, pra gente encontrar a matriz T B ' , B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4), temos que dada a base B = { u 1 ,   u 2 ,   ⋯ ,   u n }

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u n B ' ]  

Passo 2

Então na letra (a), temos

T u 1 B ' = T 1 = 1 + 0 x - 1 + 0 x - 1 2 = 1

T u 2 B ' = T x = 0 + x - 1 + 0 x - 1 2 = x - 1

T u 3 B ' = T x 2 = 0 + 0 x - 1 + x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

Logo

T u 1 B ' = 1 = 1 0 0

T u 2 B ' = x - 1 = - 1 1 0

T u 3 B ' = x 2 - 2 x + 1 = 1 - 2 1

Portanto

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u 3 B ' ] = 1 - 1 1 0 1 - 2 0 0 1  

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 , ou x = c 0 c 1 c 2 T , logo de acordo com a Fórmula (8)

T B x B = T ( x ) B ' ⇒ 1 - 1 1 0 1 - 2 0 0 1 c 0 c 1 c 2 = c 0 - c 1 + c 2 c 1 - 2 c 2 c 2

Portanto a matriz T B   satisfaz a Fórmula (8).

Resposta

  1. T B = 1 - 1 1 0 1 - 2 0 0 1 .
  2. Demonstração.
Ver Outros Exercícios desse livro

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Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas a afirmações seguintes e justifique sua respostas.a) M E F
Seja O o ponto de encontro das diagonais do paralelepípedo A B C D P Q R S da Figura 8-1. a) Determine a matriz de mudança da base E = A B → ,A D → ,A P → para a base F = O P → ,O S → ,O R → .b) Seja
Mostre que M E E = I 3 .
Determine a , b e c , sabendo que 1 ,1 ,2 E = 2 ,1 ,0 F e que a matriz de mudança da base F para a base E é - 1 0 a 2 1 b 1 0 c
Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 para a base F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1