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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 2

Seja T : P 2 → P 1 a transformação linear definida por T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 1 - 2 a 1 + 3 a 2 x .

  1. Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas B = 1 ,   x ,   x 2 e   B ' = { 1 ,   x } de P 2 e P 1 .
  2. Verifique que a matriz T B ' , B obtida na parte (a) satisfaz a Fórmula (5) com qualquer vetor x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 em P 2 .

Passo 1

Show de bola então galera, pra gente encontrar a matriz T B ' , B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4), temos que dada a base B = { u 1 ,   u 2 ,   ⋯ ,   u n }

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u n B ' ]  

Passo 2

Então na letra (a), temos

T u 1 B ' = T 1 = 1 + 0 - 2 ( 0 ) + 3 ( 0 ) x = 1

T u 2 B ' = T x = 0 + 1 - 2 1 + 3 0 x = 1 - 2 x

T u 3 B ' = T x 2 = 0 + 0 - 2 0 + 3 1 x = - 3 x

Logo

T u 1 B ' = 1 = 1 0

T u 2 B ' = 1 - 2 x = 1 - 2

T u 3 B ' = - 3 x = 0 - 3

Portanto

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u 3 B ' ] = 1 1 0 0 - 2 - 3

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 , ou x = c 0 c 1 c 2 T , logo de acordo com a Fórmula (5)

T B ' , B x B = T ( x ) B ' ⇒ 1 1 0 0 - 2 - 3 c 0 c 1 c 2 = c 0 + c 1 - 2 c 1 + 3 c 2

Portanto a matriz T B ' , B   satisfaz a Fórmula (5).

Resposta

  1. T B ' , B = 1 1 0 0 - 2 - 3 .
  2. Demonstração.
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