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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 8

Seja T : P 2 → P 3 a transformação linear definida por T p x = x p ( x - 3 ) , ou seja,

T c 0 + c 1 x + c 1 x 2 = x ( c 0 + c 1 x - 3 + c 2 x - 3 2 )

  1. Encontre T B ' , B em relação às bases B = 1 .   x ,   x 2 e B ' = { 1 ,   x ,   x 2 ,   x 3 } .
  2. Use o procedimento de três passos ilustrado no Exemplo 2 para calcular T ( 1 + x - x 2 ) .
  3. Confira o resultado obtido na parte (b) calculando diretamente T ( 1 + x - x 2 ) .

Passo 1

Show de bola então galera, pra gente encontrar a matriz T B ' , B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4), temos que dada a base B = { u 1 ,   u 2 ,   ⋯ ,   u n }

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u n B ' ]  

Passo 2

Então na letra (a), temos

T u 1 B = T 1 = x ( 1 + 0 x - 3 + 0 x - 3 2 ) = x = 0 1 0 0

T u 2 B = T x = x 0 + x - 3 + 0 x - 3 2 = x 2 - 3 x = 0 - 3 1 0

T u 3 B = T x 2 = x 0 + 0 x - 3 + x - 3 2 = x 3 - 6 x 2 + 9 x = 0 9 - 6 1

Portanto

T B ' , B = 0 0 0 1 - 3 9 0 1 - 6 0 0 1

Passo 3

Na letra (b),

Passo 1: temos que o vetor x → em T ( 1 + x - x 2 ) escrito na base B é x → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )   ou

x B = 1 1 - 1

Passo 2: Multiplicando x B pela matriz T B encontrada na parte (a), obtemos

T B ' , B x B = 0 0 0 1 - 3 9 0 1 - 6 0 0 1 1 1 - 1 = 0 - 11 7 - 1 = T x B '

Passo 3: Reconstruindo T x = T ( 1 + x - x 2 ) a partir de T ( x ) B , obtemos

T 1 + x - x 2 = - 11 x + 7 x 2 - x 3

Passo 4

Na letra (c), calculando diretamente,

T p x = x p ( x - 3 ) ⇒ T 1 + x - x 2 = x 1 + x - 3 - x - 3 2 ⇒

T 1 + x - x 2 = x ( 1 + x - 3 - x 2 + 6 x - 9 ) = - 11 x + 7 x 2 - x 3

De acordo com o resultado encontrado na letra (b).

Resposta

  1. T B ' , B = 0 0 0 1 - 3 9 0 1 - 6 0 0 1 .
  2. T 2 - 3 x + x 2 = - 11 x + 7 x 2 - x 3 .
  3. T 2 - 3 x + x 2 = - 11 x + 7 x 2 - x 3 .
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