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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 17

17 Sejam F, G e L(V) tais que FoG=GoF. Mostrar que:

Passo 1

Nós vimos no finalizinho da seção que quando temos uma potenciação com expoentes naturais de um operador, a gente esta fazendo uma aplicação composta assim:

F 2 = F ∘ F

Vamos aplicar isso no operador que queremos:

F + G 2 = F + G ∘ F + G

Pela propriedade (III) da Definição 3 podemos escrever o seguinte:

F + G ∘ F + G = F + G ∘ F + F + G ∘ G

E pela propriedade (III) da Definição 2 podemos escrever o seguinte:

F + G ∘ F + F + G ∘ G = F ∘ F + G ∘ F + F ∘ G + G ∘ G

Como o enunciado nos diz que:

F ∘ G = G ∘ F

Podemos simplificar essa expressão da seguinte maneira:

F ∘ F + G ∘ F + F ∘ G + G ∘ G = F 2 + 2 F ∘ G + G 2

Ou seja,

F + G 2 = F 2 + 2 F ∘ G + G 2

E está provado!

Passo 2

Podemos seguir o mesmo caminho que usamos anteriormente:

Pela propriedade (III) da Definição 3 podemos escrever o seguinte:

F + G ∘ F - G = F + G ∘ F - F + G ∘ G

E pela propriedade (III) da Definição 2 podemos escrever o seguinte:

F + G ∘ F - F + G ∘ G = F ∘ F + G ∘ F - F ∘ G - G ∘ G

Podemos simplificar essa expressão da seguinte maneira:

F ∘ F + G ∘ F - F ∘ G - G ∘ G = F 2 - G 2

E também está provado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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