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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 6

Seja T : R 3 → R 3 o operador linear definido por

T ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) = ( x 1 - x 2 ,   x 2 - x 1 ,   x 1 - x 3 )

  1. Encontre a matriz T em relação ás bases B = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , em que v 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) ,     v 2 = ( 0 ,   1 ,   1 ) ,     v 3 = ( 1 ,   1 ,   0 )
  2. Verifique que a Fórmula (8) vale com qualquer vetor em R 3 .
  3. T será injetor? Se for, encontre a matriz T - 1 em relação a base B .

Passo 1

Vamos lá! Pra gente encontrar a matriz T B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4) que ta lá na página 460 do livro, beleza?!

Então, temos que dada a base B = { u 1 ,   u 2 ,   ⋯ ,   u n }

T B = T u 1 B T u 2 B ⋯ T u n B ]  

Note que aqui então a base B = v 1 ,   v 2 ,   v 3 =   1 ,   0 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 , ( 1 ,   1 ,   0 ) , ta bom?

Agora é só partir pras continhas! hehehe

Passo 2

  1. Primeiro vamos encontrar T u 1 B , T u 2 B e T u 3 B . Para isso, vamos aplicar cada um dos vetores na transformação. Assim,

    2. T u 1 B = T 1 ,   0 ,   1 = 1 - 0 ,   0 - 1 ,   1 - 1 = 1 ,   - 1 ,   0 = 1 - 1 0

    T u 2 B = T 0 ,   1 ,   1 = 0 - 1 ,   1 - 0 ,   0 - 1 = - 1 ,   1 ,   - 1 = - 1 1 - 1

    T u 3 B = T 1 ,   1 ,   0 = 1 - 1 ,   1 - 1 ,   1 - 0 = 0 ,   0 ,   1 = 0 0 1

    Agora, para encontrar os elementos da matriz T B   vamos escrever cada um desses vetores que encontramos da seguinte forma:

    1 ,   - 1 ,   0 = a 1 ,   0 ,   1 + b 0 ,   1 ,   1 + c 1 ,   1 ,   0 = a + 0 b + c = 1 0 a + b + c = - 1 a + b + 0 c = 0 ⇒ a = - 1 b = 1 c = 0

    - 1 ,   1 ,   - 1 = a 1 ,   0 ,   1 + b 0 ,   1 ,   1 + c 1 ,   1 ,   0 = a + 0 b + c = 1 0 a + b + c = - 1 a + b + 0 c = - 1 ⇒ a = - 3 2 b = 1 2 c = 1 2

    0 ,   1 ,   1 = a 1 ,   0 ,   1 + b 0 ,   1 ,   1 + c 1 ,   1 ,   0 = a + 0 b + c = 1 0 a + b + c = - 1 a + b + 0 c = - 1 ⇒ a = 1 2 b = 3 2 c = - 1 2

    Agora conseguimos montar a nossa matriz T em relação ás bases B = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } ,

    T B = - 1 - 3 2 1 2 1 1 2 3 2 0 1 2 - 1 2

    Show de bola?!

    Passo 3

  2. Antes de começarmos deixa eu te lembrar que a fórmula (8) ta lá na página 462 do livro pra ficar mais fácil e rápido, rs!

    3. Seja o vetor x → = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ∈   R 3 . Aqui vamos usar a matriz T que achamos na letra (a).

    Assim, de acordo com a Fórmula (8), teremos:

    T B x B = T ( x ) B ⇒ - 1 - 3 2 1 2 1 1 2 3 2 0 1 2 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = - x 1 - 3 2 x 2 + 1 2 x 3 x 1 + 1 2 x 2 + 3 2 x 3 1 2 x 2 - 1 2 x 3

    Portanto, a matriz T B   satisfaz a Fórmula (8) para qualquer vetor de R 3 . Beleza?!

    Passo 4

  3. Aqui vamos lembrar de um teorema que vai nos ajudar a resolver essa questão!

O Teorema 8.4.1 diz que Se T : V → V for um operador linear e B uma base de V , as afirmações seguintes são equivalentes.

  1. T é injetor.
  2. T B é invertível.

Assim, como nosso operador linear é de R 3 em R 3 , e B é uma base de R 3 , pelo teorema nosso operador é injetor e invertível, então vamos aplicar o algoritmo de inversibilidade pra descobrir a inversa T - 1 , beleza?!

Fazendo as continhas,

- 1 - 3 2 1 2 1 1 2 3 2 0 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒   L 2 = L 2 + L 1 L 3 = 2 L 3   = - 1 - 3 2 1 2 0 - 1 2 0 1 - 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 ⇒

  L 1 = 2 L 1     L 3 = L 3 + L 2 = - 2 - 3 1 0 - 1 2 0 0 1 2 0 0 1 1 0 1 1 2 ⇒   L 1 = L 1 - L 3   L 2 = L 2 - 2 L 3     = - 2 - 3 0 0 - 1 0 0 0 1 1 - 1 - 2 - 1 - 1 - 4 1 1 2

  L 1 = L 1 - 3 L 2       = - 2 0 0 0 - 1 0 0 0 1 4 2 10 - 1 - 1 - 4 1 1 2 ⇒   L 1 = - 1 2 L 1   L 2 = - L 2     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 2 - 1 - 5 1 1 4 1 1 2

Portanto,

T - 1 = - 2 - 1 - 5 1 1 4 1 1 2

Resposta

  1. T B ' , B = 0 0 - 1 2 1 8 3 4 3 .
  2. Demonstração.
  3. T - 1 = - 2 - 1 - 5 1 1 4 1 1 2
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