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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 10

Sejam A = 3 - 2 1 0 1 6 2 1 - 3 0 7 1 a matriz de T : R 4 → R 3 em relação às bases B = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } e B ' = { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } em que.

v 1 = 0 1 1 1 ,     v 2 = 2 1 - 1 - 1 ,     v 3 = 1 4 - 1 2 ,     v 4 = 6 9 4 2

w 1 = 0 8 8 ,     w 2 = - 7 8 1 ,     w 3 = - 6 9 1

  1. Encontre T v 1 B ' ,   T v 2 B ' ,   T v 3 B ' e T v 4 B ' .
  2. Encontre T ( v 1 ) , T ( v 2 ) , T ( v 3 ) e T ( v 4 ) .
  3. Encontre uma fórmula para T x 1 x 2 x 3 x 4 .
  4. Use a fórmula obtida em (c) para calcular T 2 2 0 0 .

Passo 1

Show de bola então galera, nós já temos a matriz T B ' , B que é a matriz dada A , como sabemos que dada a base B = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 }

T B ' , B = T v 1 B ' T v 2 B ' T v 3 B ' T v 4 B '

Ou seja

A = T v 1 B ' T v 2 B ' T v 3 B ' T v 4 B '

A = 3 - 2 1 0 1 6 2 1 - 3 0 7 1

Logo T v 1 B ' = 3 1 - 3 , T v 2 B ' = - 2 6 0 , T v 3 B ' = 1 2 7 e T v 4 B ' = 0 1 1

Passo 2

Então na letra (b), como já temos T v 1 B ' , T v 2 B ' , T v 3 B ' e T v 4 B ' , sabemos que dado T v i B ' = a b c

T v i = a 0 ,   8 ,   8 + b - 7 ,   8 ,   1 + c ( - 6 ,   9 ,   1 )

Então para T ( v 1 )

T v 1 = 3 0 ,   8 ,   8 + - 7 ,   8 ,   1 - 3 ( - 6 ,   9 ,   1 ) = ( 11 ,   14 ,   22 )

Para T ( v 2 )

T v 2 = - 2 0 ,   8 ,   8 + 6 - 7 ,   8 ,   1 + 0 ( - 6 ,   9 ,   1 ) = ( - 42 ,   30 ,   - 2 )

Para T ( v 3 )

T v 3 = 0 ,   8 ,   8 + 2 - 7 ,   8 ,   1 + 7 - 6 ,   9 ,   1 = ( - 56 ,   87 ,   15 )  

E para T ( v 4 )

T v 4 = 0 0 ,   8 ,   8 + - 7 ,   8 ,   1 + - 6 ,   9 ,   1 = ( - 13 ,   17 ,   2 )

Portanto T v 1 = 11 14 22 , T v 2 = - 42 30 - 2 , T v 3 = - 56 87 15 e T v 4 = - 13 17 2

Passo 3

Na letra (c) galera, como já temos T v 1 , T v 2 , T v 3 e T v 4 , vamos montar uma matriz só e encontrar a fórmula.

T v 1 = 11 14 22 ,     T v 2 = - 42 30 - 2 ,     T v 3 = - 56 87 15   e   T v 4 = - 13 17 2

Logo

T 0 2 1 6 1 1 4 9 1 - 1 - 1 4 1 - 1 2 2 = 11 - 42 - 56 - 13 14 30 87 17 22 - 2 15 2

T = 11 - 42 - 56 - 13 14 30 87 17 22 - 2 15 2 0 2 1 6 1 1 4 9 1 - 1 - 1 4 1 - 1 2 2 - 1

Aplicando a Eliminação de Gauss Jordan obtemos

0 2 1 6 1 1 4 9 1 - 1 - 1 4 1 - 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 9 2 - 4 - 1 2 11 2 5 2 - 2 - 1 2 5 2 - 2 5 2 5 - 1 5 - 1 5 - 3 5 3 5 1 5 - 4 5

0 2 1 6 1 1 4 9 1 - 1 - 1 4 1 - 1 2 2 - 1 = 9 2 - 4 - 1 2 11 2 5 2 - 2 - 1 2 5 2 - 2 5 2 5 - 1 5 - 1 5 - 3 5 3 5 1 5 - 4 5

Portanto

T = 11 - 42 - 56 - 13 14 30 87 17 22 - 2 15 2 9 2 - 4 - 1 2 11 2 5 2 - 2 - 1 2 5 2 - 2 5 2 5 - 1 5 - 1 5 - 3 5 3 5 1 5 - 4 5 = - 253 10 49 5 241 10 - 229 10 93 - 71 - 36 1 21 434 5 - 384 5 - 63 5 557 5

T x 1 x 2 x 3 x 4 = - 253 10 49 5 241 10 - 229 10 93 - 71 - 36 121 434 5 - 384 5 - 63 5 557 5 x 1 x 2 x 3 x 4

Passo 4

Então para T 2 2 0 0

T 2 2 0 0 = - 253 10 49 5 241 10 - 229 10 93 - 71 - 36 121 434 5 - 384 5 - 63 5 557 5 2 2 0 0 = - 31 44 20

Resposta

  1. T v 1 B ' = 3 1 - 3 , T v 2 B ' = - 2 6 0 , T v 3 B ' = 1 2 7 e T v 4 B ' = 0 1 1 .
  2. T v 1 = 11 14 22 , T v 2 = - 42 30 - 2 , T v 3 = - 56 87 15 e T v 4 = - 13 17 2 .
  3. T x 1 x 2 x 3 x 4 = - 253 10 49 5 241 10 - 229 10 93 - 71 - 36 121 434 5 - 384 5 - 63 5 557 5 x 1 x 2 x 3 x 4 .
  4. T 2 2 0 0 = - 31 44 20 .
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