Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 12

Sejam T 1 : P 1 → P 2 a transformação linear definida por

T 1 p x = x p x

E T 2 : P 2 → P 2 o operador linear definido por

T 2 p x = p ( 2 x + 1 )

Sejam B = { 1 ,   x } e B ' = { 1 ,   x ,   x 2 } as bases canônicas de P 1 e P 2 .

  1. Encontre T 2 ∘ T 1 B ' , B , T 2 B ' e T 1 B ' , B .
  2. Enuncie uma fórmula relacionando as matrizes da parte (a).
  3. Verifique que as matrizes da parte (a) satisfazem a fórmula que você enunciou na parte (b).

Passo 1

Bom, vamos lá!! Antes de mais nada vale a pena repararmos que os espaços estão nas bases canônicas. Então é só a gente montar as matrizes de acordo com as operações que as transformações realizam, beleza?!

Assim, para T 1

T 1 p x = x p x ⇒ T 1 a 0 + a 1 x = x a 0 + a 1 x ⇒

T 1 a 0 + a 1 x = a 0 x + a 1 x 2

Portanto,

T 1 a 0 a 1 = 0 a 0 a 1 ⇒ 0 0 1 0 0 1 a 0 a 1 = 0 a 0 a 1

T 1 B ' , B = 0 0 1 0 0 1

Show de bola?!

Da mesma forma, para T 2

T 2 p x = p ( 2 x + 1 )

Aplicando os vetores canônicos de B ' , temos

T 2 1 = 1 + 0 2 x + 1 + 0 2 x + 1 2 = 1 = 1 0 0

T 2 x = 0 + 2 x + 1 + 0 2 x + 1 2 = 2 x + 1 = 1 2 0

T 2 x 2 = 0 + 0 2 x + 1 + 2 x + 1 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1 4 4

Portanto,

T 2 B ' = 1 1 1 0 2 4 0 0 4

Belezura?!

Por fim, mas não muito diferente, para composição T 2 ∘ T 1 B ' , B , como estamos na base canônica, basta a gente realizar a composição e substituir os vetores canônicos.

Assim,

T 2 ∘ T 1 B ' , B = ( 2 x + 1 ) p ( 2 x + 1 )

Aplicando os vetores canônicos de B , temos

T 2 ∘ T 1 B ' , B 1 = 2 x + 1 1 + 0 2 x + 1 + 0 2 x + 1 2 = 2 x + 1 = 1 2 0

T 2 ∘ T 1 B ' , B x = 2 x + 1 0 + 2 x + 1 + 0 2 x + 1 2 = 2 x + 1 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1 4 4

T 2 ∘ T 1 B ' , B = 1 1 2 4 0 4

Passo 2

b) A fórmula que relaciona essas matrizes é a fórmula 10 dada pelo Teorema 8.4.1, que diz que, “Se T 1 : U → V e T 2 : V → W forem transformações lineares e B , B ' e B ' ' bases de U ,   V   e   W , respectivamente, então”

T 2 ∘ T 1 B ' , B = T 2 B ' , B ' ' T 1 B ' , B

Beleza?!

No nosso exercício

T 2 : P 2 → P 2

Então, de acordo com o teorema,

P 2 = P 2 ⇔ V = W

Assim,

B ' = B ' ' e T 2 B ' , B ' ' = T 2 B '

Logo,

T 2 ∘ T 1 B ' , B = T 2 B ' T 1 B ' , B

Shw de bola?!

Passo 3

c) Aplicando a nossa fórmula de (b)

T 2 ∘ T 1 B ' , B = T 2 B ' T 1 B ' , B

⇒ T 2 ∘ T 1 B ' , B = 1 1 1 0 2 4 0 0 4 0 0 1 0 0 1 = 1 1 2 4 0 4

Logo,

T 2 ∘ T 1 B ' , B = 1 1 2 4 0 4

O que confere com nosso resultado de (a).

Resposta

  1. T 1 B ' , B = 0 0 1 0 0 1 ,       T 2 B ' = 1 1 1 0 2 4 0 0 4   e   T 2 ∘ T 1 B ' , B = 1 1 2 4 0 4 .
  2. Teorema 8.4.1.
  3. Demonstração.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(Requer Cálculo) Pode ser mostrado que os vetores 1 . x - c.x - c 2 2 ! .… x - c n n ! Formam uma base de P n qualquer que seja o número real c dado. Encontre a matriz do operador de derivação do Exer
(Requer Cálculo) Sejam D : P n → P n o operador de derivação D p = p ' . Mostre que a matriz de D em relação a base B = { 1 , x , x 2 , ,...,x n } é 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 0 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0
(Requer Cálculo) Seja J : P n → P n + 1 a transformação de integração definida por ∫ 0 x a 0 + a 1 t +...+ a n t n d t = a 0 x + a 1 2 x 2 + ...+ a n n + 1 x n + 1 Em que p = a 0 + a 1 x +. . .+ a n x
(Requer Cálculo) Sejam p ( x ) e q ( x ) funções contínuas e con sidere o subespaçoV de C ( - ∞ ,+ ∞ ) que consiste em todas as funções que são duas vezes deriváveis. DefinaL : V → V por L y x =y ' '
21. Em cada parte, preencha a lacuna na equação.(a) T 2 ∘ T 1 B ' , B = T 2 _ _ _ _ _ _ _ T 1 B ' ' , B (b) T 3 ∘ T 2 ∘ T 1 B ' , B = [ T 3 ] _ _ _ _ _ _ _ _ T 2 B ' ' ' , B ' ' T 1 B ' ' , B