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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 17

Seja { g 1 , g 2 . g 3 } uma base ortogonal de R ³ . Para todo u   ϵ   R ³ definem-se os co-senos diretores de u em relação à base dada por c o s   α =   < u , g 1 > u , c o s   β =   < u , g 2 > u e c o s   γ =   < u , g 3 > u . Provar que:

  1. u = u ( ( c o s   α ) g 1 + ( c o s   β ) g 2 + ( c o s   γ ) g 13 )
  2. c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = 1

Passo 1

Vamos resolver o item (a), basta substituir os valores dos co-senos na equação:

u ( ( c o s   α ) g 1 + ( c o s   β ) g 2 + ( c o s   γ ) g 3 )   = u ( < u , g 1 > u ) g 1 + ( < u , g 2 > u ) g 2 + ( < u , g 3 > u ) g 3

u ( ( c o s   α ) g 1 + ( c o s   β ) g 2 + ( c o s   γ ) g 3 )   = ( < u , g 1 > g 1 + < u , g 2 > g 2 + < u , g 3 > g 3 )

Note que chegamos em uma expressão que é outro jeito de encontrar os coeficientes da decomposição de u na base { g 1 , g 2 . g 3 }. Então:

u ( ( c o s   α ) g 1 + ( c o s   β ) g 2 + ( c o s   γ ) g 3 )   = ( < u , g 1 > g 1 + < u , g 2 > g 2 + < u , g 3 > g 3 )

u ( ( c o s   α ) g 1 + ( c o s   β ) g 2 + ( c o s   γ ) g 3 )   = u

Passo 2

No item (b) vamos novamente substituir os valores dos co-senos na equação:

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = < u , g 1 > u 2 + < u , g 2 > u 2 + < u , g 3 > u 2

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = < u , g 1 > ² u ² + < u , g 2 > ² u ² + < u , g 3 > ² u ²

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = < u , g 1 > ² + < u , g 2 > ² +   < u , g 3 > ² < u , u >

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = < u , < u , g 1 > g 1 >   +   < u , < u , g 2 > g 2 >   +   < u , < u , g 3 > g 3 > < u , u >

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = < u , < u , g 1 > g 1   +   , < u , g 2 > g 2   +   < u , g 3 > g 3 > < u , u >

Note que o numerador corresponde exatamente a u :

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = < u , < u , g 1 > g 1   +   , < u , g 2 > g 2   +   < u , g 3 > g 3 > < u , u >

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = < u , u > < u , u >

c o s ²   α + c o s ²   β + c o s ²   γ = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo.