Seja q 0 x um polinômio de grau m fixado e defina a função T de domínio P n pela fórmula T p x = p q 0 x . Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

Show de bola galera, temos um polinômio p ( x ) que pertence ao domínio P n , logo tem grau n . E temos um polinômio q 0 ( x ) de grau m . Nossa transformação T p x = p q 0 x pega esse polinômio q 0 de grau m e aplica no polinômio p ( x ) de grau n , ou seja, estamos pegando q 0 e elevando a n , aplicando ele em p ( x ) . Logo nossa imagem vai ser o espaço dos polinômios de grau m × n . Portanto a transformação é dada por T : P n → P m × n

Passo 2

E para verificarmos que é uma transformação linear, precisamos testar as duas propriedades

  1. T k v = k T ( v ) [Homogeneidade]
  2. T u + v = T u + T ( v ) [Aditividade]

Logo para (i), temos

T k p x = k p q 0 x = k T p x

E para (ii), temos

T p x + h ( x ) = p q 0 x + h q 0 x = T p x + T h x

Portanto a transformação é linear.

Resposta

Demonstração.

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