Seja um polinômio de grau fixado e defina a função de domínio pela fórmula . Mostre que é uma transformação linear.
Passo 1
Show de bola galera, temos um polinômio que pertence ao domínio , logo tem grau . E temos um polinômio de grau . Nossa transformação pega esse polinômio de grau e aplica no polinômio de grau , ou seja, estamos pegando e elevando a , aplicando ele em . Logo nossa imagem vai ser o espaço dos polinômios de grau . Portanto a transformação é dada por
Passo 2
E para verificarmos que é uma transformação linear, precisamos testar as duas propriedades
- [Homogeneidade]
- [Aditividade]
Logo para (i), temos
E para (ii), temos
Portanto a transformação é linear.
Resposta
Demonstração.