Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 2c
Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
- definida por
- definida por
- definida por
- definida por
Passo 1
Temos um problema bem direto. Precisamos determinar a matriz de transformação , saindo da base do para a base do .
O procedimento é bem repetitivo. O que pode acontecer é ele ser trabalhoso, a depender das bases que estamos trabalhando.
Mas o que temos que fazer? Simples, vamos pegar cada vetor de e aplicar a transformação . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de , isto é:
E o que iremos descobrir são os coeficientes , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base ).
Passo 2
Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor , temos:
Portanto, temos . Assim, obtemos o primeiro elemento da nossa matriz. Vamos repetir agora para o segundo vetor da base , . Então:
Então, temos . Agora, para o vetor , temos:
Assim, obtemos . Para finalizarmos, temos o vetor . Então,
Finalizando então o cálculo dos coeficientes com .
Passo 3
Por fim, basta montarmos a nossa matriz . Como a base tem quatro vetores, teremos uma matriz com 4 colunas. Já como a base tem um vetor, teremos uma matriz com 1 linha.
Desta forma, a nossa matriz será:
Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:
E esta é a nossa solução da questão!