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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 2a

Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:

  1. F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + y , z
  2. F ∈ L R 2 , R 3 definida por F x , y = x + y , x , x - y
  3. F ∈ L R 4 , R definida por F x , y , z , t = 2 x + y - z + 3 t
  4. F ∈ L R , R 3 definida por F x = x , 2 x , 3 x

Passo 1

Temos um problema bem direto. Precisamos determinar a matriz de transformação F B , C , saindo da base B = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 do R 3 para a base C = 1,0 , 0,1 do R 2 .

O procedimento é bem repetitivo. O que pode acontecer é ele ser trabalhoso, a depender das bases que estamos trabalhando.

Mas o que temos que fazer? Simples, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de C , isto é:

F 1,0 , 0 = α 11 1,0 + α 21 0,1

E o que iremos descobrir são os coeficientes α , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor 1,0 , 0 , temos:

F 1,0 , 0 = 1,0 = α 11 1,0 + α 21 0,1

1,0 = α 11 , α 21

α 11 = 1 α 21 = 0

Resolvendo o sistema acima, vamos obter α 11 = 1 e α 21 = 0 . Assim, obtemos os primeiros elementos da nossa matriz. Vamos repetir agora para o segundo vetor da base B , 0,1 , 0 . Então:

F 0,1 , 0 = 1,0 = α 12 1,0 + α 22 0,1

1,0 = α 12 , α 22

α 12 = 1 α 22 = 0

Resolvendo o sistema acima, obtemos: α 12 = 1 e α 22 = 0 . Repetindo o mesmo procedimento para o vetor 0,0 , 1 , temos:

F 0,0 , 1 = 0,1 = α 13 1,0 + α 23 0,1

0,1 = α 13 , α 23

α 13 = 0 α 23 = 1

Cuja solução é α 13 = 0 e α 23 = 1 .

Passo 3

Por fim, basta montarmos a nossa matriz F B , C . Como a base B tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas. Já como a base C tem dois vetores, teremos uma matriz com 2 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B , C = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B , C = 1 1 0 0 0 1

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

F B , C = 1 1 0 0 0 1

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