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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 3

No espaço vetorial M 2 R , seja

M = a b c d

Determinar a matriz do operador linear F ∈ L M 2 R dado por F X = M X - X M , em relação à base canônica

1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

De M 2 R .

Passo 1

Bom, primeiro vamos entender o que a questão pede. Quando ela diz para encontrarmos a matriz do operador linear em relação à base canônica, ela nos pede para determinarmos F C .

E como faremos isto? Simples, vamos pegar cada vetor de C e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de C , isto é:

F 1 0 0 0 = α 11 1 0 0 0 + α 21 0 1 0 0 + α 31 0 0 1 0 + α 41 0 0 0 1

E o que iremos descobrir são os coeficientes α , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base C ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor 1 0 0 0 , temos:

F 1 0 0 0 = a b c d   1 0 0 0 - 1 0 0 0 a b c d =   a 0 c 0 - a b 0 0

F 1 0 0 0 = 0 - b c 0 = α 11 1 0 0 0 + α 21 0 1 0 0 + α 31 0 0 1 0 + α 41 0 0 0 1

0 - b c 0 = α 11 α 21 α 31 α 41

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 11 = 0 α 21 = - b α 31 = c α 41 = 0

Agora, nosso trabalho é ficar repetindo o procedimento para os outros vetores da base canônica. Sendo assim, temos:

F 0 1 0 0 = a b c d   0 1 0 0 - 0 1 0 0 a b c d =   0 a 0 c - c d 0 0

F 0 1 0 0 = - c a - d 0 c = α 12 1 0 0 0 + α 22 0 1 0 0 + α 32 0 0 1 0 + α 42 0 0 0 1

- c a - d 0 c = α 12 α 22 α 32 α 42

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 12 = - c α 22 = a - d α 32 = 0 α 42 = c

Repetindo o procedimento para o terceiro vetor, temos:

F 0 0 1 0 = a b c d 0 0 1 0 - 0 0 1 0 a b c d =   b 0 d 0 - 0 0 a b

F 0 0 1 0 = b 0 d - a - b = α 13 1 0 0 0 + α 23 0 1 0 0 + α 33 0 0 1 0 + α 43 0 0 0 1

b 0 d - a - b = α 13 α 23 α 33 α 43

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 13 = b α 23 = 0 α 33 = d - a α 43 = - b

Por fim, para o último vetor da base canônica, temos:

F 0 0 0 1 = a b c d 0 0 0 1 - 0 0 0 1 a b c d =   0 b 0 d - 0 0 c d

F 0 0 0 1 =   0 b - c 0 = α 14 1 0 0 0 + α 24 0 1 0 0 + α 34 0 0 1 0 + α 44 0 0 0 1

0 b - c 0 = α 14 α 24 α 34 α 44

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 14 = 0 α 24 = b α 34 = - c α 44 = 0

Passo 3

Por fim, basta montarmos a nossa matriz F C . Como a base C tem 4 vetores, teremos uma matriz com 4 colunas e 4 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F C = α 11 α 12 α 13 α 14 α 21 α 22 α 23 α 24 α 31 α 32 α 33 α 34 α 41 α 42 α 43 α 44

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F C = 0 - c b 0 - b a - d 0 b c 0 d - a - c 0 c - b 0

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

F C = 0 - c b 0 - b a - d 0 b c 0 d - a - c 0 c - b 0

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Em cada parte, seja T : R 2 → R 2 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre. T - 1 x 1 x 2 A = 5 2 2 1 A = 6 - 3 4 - 2 A = 4 7 - 1 3
Sejam T 1 : M 22 → R e T 2 : M 22 → M 22 as transformações lineares dadas por T 1 A = t r ( A ) e T 2 A = A T .Encontre T 1 ∘ T 2 A com A = a b c d .Você consegue encontrar T 2 ∘ T 1 A ? Explique.
Seja T 1 : V → V a dilatação T 1 v = 4 v . Encontre um operador linear T 2 : V → V tal que T 1 ∘ T 2 = I e T 2 ∘ T 1 = I .
Suponha que as transformações lineares T 1 : P 2 → P 2 e T 2 : P 2 → P 3 sejam dadas pelas fórmulas T 1 p x = p ( x + 1 ) e T 2 p x = x p x . Encontre ( T 2 ∘ T 1 ) ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) .
Em cada caso, encontre T 2 ∘ T 1 x ,y . T 1 x ,y = 2 x ,3 y ,T 2 x ,y = x - y ,x + y T 1 x ,y = x - 3 y ,0 ,T 2 x ,y = ( 4 x - 5 y ,3 x - 6 y ) T 1 x ,y = 2 x ,- 3 y ,x + y ,T 2 x ,y ,z = ( x - y ,y +