Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 7

Seja P um ponto interior ao triangulo ABC tal que . Prove que as retas AP, BP e CP são medianas de ABC, logo P é o baricentro desse triângulo.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos definir como Q o ponto de interseção da reta BP com o segmento AC.

Disso podemos observar que:

Logo,

Agora precisamos demonstrar que Q é ponto médio de AC, ou seja, .

Para isso vamos definir o valor de cada vetor :

Logo,

Simplificando:

Por outro lado:

Temos ainda que:

Assim:

Voltando para a equação 2, agora temos:

Como essa igualdade deve ser igual a zero, temos:

Pois são linearmente independentes.

De

Substituindo em , temos .

Como queríamos demonstrar. Portanto Q é o ponto médio de AC.

Para as outras medianas dos outros vértices do triângulo a demonstração é idêntica.

Resposta

Veja a demonstração acima.

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