É verdade que um isomorfismo de espaços com produto interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos ortonormais? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Se V e W são espaços com produto interno, dizemos que um isomorfismos T : V → W é um isomorfismo de espaços com produto interno se

T ( u ) , T ( v ) = u , v

E dado um conjunto { u ,   v } dizemos que ele é ortonormal se

u , v = 0

u , u = v , v = 1

Logo isso quer dizer que

T ( u ) , T ( v ) = 0

T ( u ) , T ( u ) = T ( v ) , T ( v ) = 1

Passo 2

Portanto se o conjunto u ,   v V é ortonormal em V , após a transformação, o conjunto T u ,   T v W vai ser ortonormal em W . Por isso que um isomorfismo de espaços com produto interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos ortonormais.

Resposta

Demonstração

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