Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 19
É verdade que um isomorfismo de espaços com produto interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos ortonormais? Explique seu raciocínio.
Passo 1
Se e são espaços com produto interno, dizemos que um isomorfismos é um isomorfismo de espaços com produto interno se
E dado um conjunto dizemos que ele é ortonormal se
Logo isso quer dizer que
Passo 2
Portanto se o conjunto é ortonormal em , após a transformação, o conjunto vai ser ortonormal em . Por isso que um isomorfismo de espaços com produto interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos ortonormais.
Resposta
Demonstração
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Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora. T : R m → R m ; n u l T = 0 . T : R n → R n : p o s T = n - 1 . T : R m → R n ; nm . T : R n → R n ; R T =
Conforme indicado na figura, seja T : R 2 → R 2 o operador linear que reflete cada ponto no eixo y .Encontre o núcleo de T . T será injetora? Justifique sua resposta.
Quais das transformações do Exercício 1 são sobre. T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( y ,x ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( 0 ,2 x + 3 y ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( x + y ,x - y ) . T : R 2 → R 3
Seja T : V → V um operador linear. Prove que T é injetor se, e só se, det T ≠ 0