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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 25

Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:

25) Paralelo ao eixo z e que contenha os pontos A ( 0 ,   3 ,   4 ) e B ( 2 ,   0 ,   - 2 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para equacionar um plano precisamos de duas coisas: um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) , né? E daí a equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Sendo assim a ideia pra resolver essa questão é a seguinte: determinar um vetor que seja paralelo ao eixo z (como por exemplo, o vetor k ^ ), e com o vetor que liga os pontos A e B , fazer o produto vetorial entre eles. O resultado desse produto vai ser um vetor normal ao plano que é pedido. O ponto já foi dado.

Assim com o vetor normal e o ponto na mão é só equacionar o plano!

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelo vetor que liga os pontos A e B .

A B → = B - A = 2 ,   0 ,   - 2 - 0 ,   3 ,   4 = ( 2 , - 3 , - 6 )

Passo 3

Agora o próximo passo é fazer o produto vetorial entre A B → e k ^ :

A B → × k ^ = i ^ j ^ k ^ 2 - 3 - 6 0 0 1 = i ^ - 3 + 0 + j ^ - 2 + k ^ ( 0 - 0 )

= ( - 3 , - 2,0 )

Passo 4

Agora juntando o vetor normal ( - 3 , - 2,0 )   com o ponto A ( 0 ,   3 ,   4 ) (aqui você também poderia escolher o ponto B sem problemas) podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 3 x - 0 - 2 y - 3 + 0 z - 4 = 0

- 3 x - 2 y + 6 = 0

3 x + 2 y - 6 = 0

Assim a equação do plano é 3 x + 2 y - 6 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

3 x + 2 y - 6 = 0

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Determine a projeção do ponto P = ( 1 ,4 ,0 ) sobre o plano π : x + y - 2 z + 1 = 0 , paralelamente à reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ( 1 ,4 ,1 ) .
Sejam A = ( 2 ,1 ,1 ) , B = ( - 1 ,0 ,1 ) , C = ( 0 ,2 ,1 ) e π : X = 2 ,4 ,0 + α- 1 ,1 ,1 + β( - 2 ,- 1 ,0 ) . Prove que o lugar geométrico dos pontos X do plano π tais que o tetraedro tem volume 1 é
As retas r : X = 1 ,0 ,0 + α( 0 ,1 ,1 ) , s : X = 0 ,2 ,0 + β( 1 ,0 ,1 ) e t : X = 0 ,0 ,3 + γ( 1 ,1 ,0 ) são concorrentes com h , respectivamente, nos pontos A , B e C . Sabendo que B é o ponto médio
O plano π contém r : x - y = x + z - 1 = 0 e determina, com os planos coordenados, um tetraedro de volume 1 / 12 . Obtenha os vértices do tetraedro e uma equação geral de π .
Considere as retas r : X = 1 ,1 ,0 + λ( 0 ,1 ,1 ) e s :( x - 1 ) / 2 = y = z . Sejam A o ponto de interseção de s com o plano π , e B e C , respectivamente, os pontos que r intercepta O x z e O x y .