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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 23

Nos Problemas 23 e 24 , determinar uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:

23)

A 4,3 , 2

r :   x = t y = 2 - t 3 + 2 t

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para equacionar um plano precisamos de duas coisas: um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) , né? E daí a equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Sendo assim a ideia pra resolver essa questão é a seguinte: determinar dois pontos da reta e junto com o ponto dado, construir dois vetores, tipo assim:

Esses dois vetores vão formar uma base vetorial para nosso plano! Em seguida vamos fazer o produto vetorial entre eles, pois assim vamos obter um vetor normal ao plano que contém tanto a reta quanto o ponto.

Com o vetor normal e o ponto na mão é só equacionar o plano!

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelos pontos. Do enunciado, a reta r é

r :   x = t y = 2 - t z = 3 + 2 t

Fazendo t = 0 temos o ponto B ( 0,2 , 3 ) . E fazendo t = 1 temos o ponto C ( 1 , 1,5 ) .

Com isso podemos escrever os dois vetores:

A B → = B - A = 0,2 , 3 - 4,3 , 2 = ( - 4 , - 1,1 )

A C → = C - A = 1,1 , 5 - 4,3 , 2 = ( - 3 , - 2,3 )

Passo 3

Agora com os dois vetores o próximo passo é fazer o produto vetorial entre eles:

A B → × A C → = i ^ j ^ k ^ - 4 - 1 1 - 3 - 2 3 = i ^ - 3 + 2 + j ^ - 3 + 12 + k ^ ( 8 - 3 )

= ( - 1,9 , 5 )

Passo 4

Agora juntando o vetor normal - 1 , 9,5   com o ponto A ( 4,3 , 2 ) podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 1 x - 4 + 9 y - 3 + 5 z - 2 = 0

- x + 4 + 9 y - 27 + 5 z - 10 = 0

x - 9 y - 5 z + 33 = 0

Assim a equação do plano é x - 9 y - 5 z + 33 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x - 9 y - 5 z + 33 = 0

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