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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 4

Ache todas as retas que passam pelo ponto (1, -2, 3) e que formam ângulos 45° e 60° com os eixos x e y respectivamente.

Passo 1

Visto que procuramos retas que faças 45° com o eixo x, sabemos que o vetor diretor dessas retas faz 45° com o vetor i = (1, 0, 0). Dessa forma, podemos buscar um vetor V = (a, b, c) a partir da fórmula:

cos ⁡ 45 ° =   V ∙ i V i

V ∙ i = a ∙ 1 + b ∙ 0 + c ∙ 0 = a

V =   a 2 + b 2 + c 2

No entanto, podemos escolher um valor arbitrário para a norma do vetor V, por exemplo, 2:

V =   a 2 + b 2 + c 2 = 2

i =   1 2 + 0 2 + 0 2 =   1

1 2 =   a a 2 + b 2 + c 2 =   a 2

Dessa forma:

2 2 =   a 2

a = ± 2

Passo 2

Como também procuramos que as retas façam 60° com o eixo y, sabemos que o vetor diretor dessas retas desejadas faz 60° com o vetor j = (0, 1, 0):

cos ⁡ 60 ° =   V ∙ j V j

V ∙ j = a ∙ 0 + b ∙ 1 + c ∙ 0 = b

V =   a 2 + b 2 + c 2

Substituindo:

cos ⁡ 60 ° =   V ∙ j V j

1 2 =   b 2

b = ± 1

Passo 3

Como assumimos que a norma do vetor V é 2, podemos substituir os valores de a e b encontrados para, então, descobrirmos o valor de c:

a 2 + b 2 + c 2 = 2

a 2 + b 2 + c 2 = 4

2 + 1 + c 2 = 4

c = ± 1

Assim, V = ( ± 2 , ± 1, ± 1 ). Dado que as retas devem passar pelo ponto (1, -2, 3), temos que a equação geral para essas 8 retas é:

(x, y, z) = (1, -2, 3) + t( ± 2 , ± 1, ± 1 ).

Resposta

(x, y, z) = (1, -2, 3) + t( ± 2 , ± 1, ± 1 ).

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