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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 7

Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r 2 a reta

x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3

(a) Encontre as equações da reta perpendicular às retas r 1   e   r 2 .

(b) Calcule a distância entre r 1   e   r 2 .

Passo 1

Vamos começar escrevendo as equações paramétricas das duas retas:

r 1 :     A B → = ( - 1,2 , 0 )

r 1 = x , y , z = 1,0 , 0 + t ( - 1,2 , 0 )

Agora r 2 :

s = x - 2 → x = s + 2

s = y - 3 2 = y = 2 s + 3

s = z - 4 3 → z = 3 s + 4

Então, P r 1 = ( 1 - t ,   2 t , 0 ) é um ponto qualquer de r 1 e P r 2 = ( s + 2,2 s + 3 ,   3 s + 4 ) é um ponto qualquer de r 2 .

Passo 2

Para descobrir a reta perpendicular, vamos determinar   t   e   s , de forma que o vetor P r 1 P r 2 → seja perpendicular aos vetores diretores de r 1   e   r 2 .

P r 1 P r 2 → = ( 1 + t + s ,   3 - 2 t + 2 s ,   3 s + 4 )

O produto interno desse vetor com os vetores - 1,2 , 0   e   ( 1,2 , 3 ) tem que ser igual a zero:

- 1 - t - s + 6 - 4 t + 4 s       = 0 1 + t + s + 6 - 4 t + 4 s + 9 s + 12 = 0

5 - 5 t + 3 s = 0 19 - 3 t + 14 s = 0

Resolvendo esse sisteminha, encontramos:

s = - 80 61       e       t = 13 61

Passo 3

Substituindo isso no vetor:

P r 1 P r 2 → = ( 1 + t + s ,   3 - 2 t + 2 s ,   3 s + 4 )

= - 6 61 ,   - 3 61 , 4 61

Podemos substituir t = 13 61 em:

P r 1 = ( 1 - t ,   2 t , 0 )

= 48 61 , 26 61 ,   0

A reta perpendicular, passa pelo ponto acima e tem como vetor diretor o que calculamos anteriormente:

r 3 : x , y , z = 48 61 , 26 61 ,   0 + k - 6 61 ,   - 3 61 , 4 61

Passo 4

b) A distância de r 1   a   r 2 é dada pela norma do vetor da reta perpendicular, que encontramos acima.

Ou seja, é a norma do vetor:

- 6 61 ,   - 3 61 , 4 61

d r 1 ,   r 2 = - 6 61 2 + - 3 61 2 + 4 61 2

= 1 61

Resposta

  1. r 3 : x , y , z = 48 61 , 26 61 ,   0 + k - 6 61 ,   - 3 61 , 4 61
  2. 1 61

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