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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 32b

Seja A x = b o sistema 4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3 . Resolva o sistema por eliminação de Gauss-Jordan

Passo 1

Vamos resolver o sistema pela eliminação de Gauss-Jordan. Nesse sistema, não precisamos achar uma matriz identidade. Basta que tenham zeros abaixo da diagonal principal.

Então, vamos reescrever o sistema como uma matriz aumentada.

4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3         →           4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 6 1 - 3 3

Passo 2

Agora, vamos fazer operações entre as linhas para que todas as entradas abaixo da diagonal principal sejam zeros.

  4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 6 1 - 3 3 → L 1 ↔ L 4   1 3 7 4 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 2 1 8 1 3 1 - 3 6

1 3 7 4 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 2 1 8 1 3 1 - 3 6 → L 2 → L 2 - 3 L 1 L 3 → L 3 - 7 L 1 L 4 → L 4 - 4 L 1 1 0 0 0 1 4 - 3 - 3 1 - 4 - 12 - 3 2 - 5 - 6 - 7 3 - 8 - 24 6

1 0 0 0 1 4 - 3 - 3 1 - 4 - 12 - 3 2 - 5 - 6 - 7 3 - 8 - 24 6 → L 3 → L 3 + L 2 L 4 → L 4 + 3 4 L 2 1 0 0 0 1 4 0 0 1 - 4 - 1 6 - 6 2 - 5 - 11 - 43 / 4 3 - 8 - 32 - 12

1 0 0 0 1 4 0 0 1 - 4 - 16 - 6 2 - 5 - 11 - 43 / 4 3 - 8 - 32 - 12 → L 4 → L 4 - 3 8 L 3 1 0 0 0 1 4 0 0 1 - 4 - 16 0 2 - 5 - 11 - 53 / 8 3 - 8 - 32 0

Passo 3

Reescrevendo o sistema, temos:

x + y + z + 2 w = 3 4 y - 4 z - 5 w = - 8 - 16 z - 11 w = - 32 - 53 8 w = 0

Analisando a última equação, temos que w = 0

Assim, vamos substituir nas demais equações:

- 16 z - 11 0 = - 32     →     - 16 z = - 32       ∴       z = 2

4 y - 4 2 - 5 0 = - 8     →     4 y - 8 = - 8       ∴       y = 0

x + 0 + 2 + 2 0 = 3     →     x = 3 - 2       ∴       x = 1

Resposta

x = 1 , y = 0 , z = 2 e w = 0

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