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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 17

Seja X um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V .

a) Mostre que o conjunto, X , de todas as combinações lineares

α 1 V 1 + … + α k V k

De vetores V 1 , … , V k ∈ X é um subespaço de V .

b) Mostre que X é o menor subespaço de V que contém X , ou seja, se w é um subespaço de V e X ⫅ w .

c) mostre que se X 1   e   X 2 são subconjuntos de um espaço vetorial 𝕍 e X 1 ⫅ X 2 ,   então X 1 ⫅ { X 2 } .

d) Mostre que se X 1   e   X 2 são subconjuntos de um espaço vetorial V , então X 1 ∪ X 2 = X 1 + X 2 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja X um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V .

a) Mostre que o conjunto, X , de todas as combinações lineares

α 1 V 1 + … + α k V k

De vetores V 1 , … , V k ∈ X é um subespaço de V .

b) Mostre que X é o menor subespaço de V que contém X , ou seja, se w é um subespaço de V e X ⫅ w .

c) mostre que se X 1   e   X 2 são subconjuntos de um espaço vetorial 𝕍 e X 1 ⫅ X 2 ,   então X 1 ⫅ { X 2 } .

d) Mostre que se X 1   e   X 2 são subconjuntos de um espaço vetorial V , então X 1 ∪ X 2 = X 1 + X 2 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para,

α 1 V 1 + … + α k V k , ficando

x = { α 1 V 1 + … + α k V k | → V i ∈ x ,   i = 1 , … , k }

Na letra (b) para X ⫅ w , com x ⫅ w , ficando

x ⫅ w → { v ∈ V | V = α 1 v 1 + … + α k V k }

Na letra ( c ) para,

X 1   e   X 2 dado, 𝕍 e X 1   ⫅ X 2 com X 1 ⫅   | X 2 | ficando,

X 1 = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 }

X 2 = { - α - 2 α , α , β , β ∈ R }

Ficando,

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ⫅ { - α - 2 α , α , β , β ∈ R }

E por fim na letra (d),

X 1   e   X 2 →   V com, X 1   ∪ X 2 = X 1 + | X 2 |

Ficando,

x 1 = - α - 2 β       e       x 2 = α

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x 1 = - α - 2 β       e       x 2 = α

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