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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 3

Seja Ω a superfície cilíndrica circunscrita à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 , cujas geratrizes são paralelas a u → = 2,1 , - 1 . Obtenha equações de uma diretriz de Ω e deduza uma equação livre de parâmetros para esta superfície.

Passo 1

Precisamos, antes de determinar uma equação livre de parâmetros, da equação da diretriz de Ω .

A questão nos diz que Ω é uma superfície circunscrita a superfície esférica. Então, podemos dizer que Ω tangencia S . E é exatamente esta informação que precisamos!

Precisamos descobrir os pontos X = x , y , z tal que o vetor u → = 2,1 , - 1 seja vetor diretor das retas tangentes a S . Para isto, seja o centro da superfície esférica C = 0,0 , 0 , temos a seguinte relação:

  C X → ⋅   u → = 0

Os dois vetores devem ser ortogonais! Então, se C X → = X - C = X = x , y , z , temos:

x , y , z ⋅ 2,1 , - 1 = 0

2 x + y - z = 0

O que consiste em um plano! Então, a diretriz de Ω será:

Γ : x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 x + y - z = 0

OBS: vocês podem achar que aqui está errado, visto que, no final do livro, diz que o plano π é diferente. Entretanto, esta é a solução correta. Inclusive, a resposta do final do livro é referente a questão resolvida 24-13, a qual é bem semelhante a esta, só que com o vetor 2 , - 1,1 .

Passo 2

Agora, vamos montar o sistema de equações que precisamos resolver.

Um ponto X = x , y , z pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e X Q → = λ r → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 + v 2 + w 2 = 1 2 u + v - w = 0

E, se X Q → = λ r → , também temos:

u = x + 2 λ v = y + λ w = z - λ

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 + v 2 + w 2 = 1 2 u + v - w = 0 u = x + 2 λ v = y + λ w = z - λ

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

x + 2 λ 2 + y + λ 2 + z - λ 2 = 1 2 x + 2 λ + y + λ - z - λ = 0 u = x + 2 λ v = y + λ w = z - λ

Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro λ . Portanto,

2 x + 2 λ + y + λ - z - λ = 0

2 x + 4 λ + y + λ - z + λ = 0

λ = - 2 x - y + z 2

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

Ω : x + 2 z - 4 x - 2 y 6 2 + y + z - 2 x - y 6 2 + z - z - 2 x - y 6 2 = 1

Resposta

Ω : x + 2 z - 4 x - 2 y 6 2 + y + z - 2 x - y 6 2 + z - z - 2 x - y 6 2 = 1

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Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 =
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 =
Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos: V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0 V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2
Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos: V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0 V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2
Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos: V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0 V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2