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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 1c

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r .

  1. Ω 1 : x 2 + y 2 = z Ω 2 : x - y + z = 0 r : X = 1,2 , 3 + λ 1,1 , 1
  2. Ω 1 : x 2 - x y + 1 = 0 Ω 2 : z = 0 r : x - 2 z + 3 = y - z = 3
  3. Ω 1 : x y = z Ω 2 : x + y - z = 0 r : x = y = z
  4. Ω 1 : x + y + x y = 0 Ω 2 : z = 0 r : x = y = z
  5. Ω 1 : f x , y = 0 Ω 2 : z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ m , n , 1

Passo 1

Precisamos obter uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas a reta r e pela curva diretriz Γ dada por:

Γ : x y = z x + y - z = 0

Antes de podermos montar o sistema de equação que caracteriza a superfície Ω , vamos obter o vetor diretor da reta r , a qual é dada por:

r : x = z y = z

Portanto, a reta r possui a seguinte equação vetorial:

r : X = x , y , z

r : X = z , z , z

r : X = 0 , 0 , 0 + z , z , z

r : X = 0 , 0 , 0 + z 1 , 1,1

r : X = 0 , 0 , 0 + λ 1 , 1,1

Por fim, o vetor diretor da reta r é r → = 1 , 1,1 .

Passo 2

Agora vamos montar o nosso sistema. Seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e X Q → = λ r → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u v = w u + v - w = 0

E, se X Q → = λ r → , também temos:

u = x + λ v = y + λ w = z + λ

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u v = w u + v - w = 0 u = x + λ v = y + λ w = z + λ

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

x + λ y + λ = z + λ x + λ + y + λ - z + λ = 0 u = x + λ v = y + λ w = z + λ

Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro λ . Portanto,

x + λ + y + λ - z + λ = 0

λ = - x - y + z

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

x + λ y + λ = z + λ

x - x - y + z y - x - y + z = z - x - y + z

Ω : - y + z - x + z = 2 z - x - y

Resposta

Ω : - y + z - x + z = 2 z - x - y

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