Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 = z Ω 2 : x - y + z = 0 r : X = 1,2 , 3 + λ 1,1 , 1 Ω 1 : x 2 - x y + 1 = 0 Ω 2 : z = 0 r : x - 2 z + 3 = y - z = 3 Ω 1 : x y = z Ω 2 : x + y - z = 0 r : x = y = z Ω 1 : x + y + x y = 0 Ω 2 : z = 0 r : x = y = z Ω 1 : f x , y = 0 Ω 2 : z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ m , n , 1

Ω : - y + z - x + z = 2 z - x - y

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 1c

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies e e cujas geratrizes são paralelas à reta .

Passo 1

Precisamos obter uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas a reta e pela curva diretriz dada por:

Antes de podermos montar o sistema de equação que caracteriza a superfície , vamos obter o vetor diretor da reta , a qual é dada por:

Portanto, a reta possui a seguinte equação vetorial:

Por fim, o vetor diretor da reta é .

Passo 2

Agora vamos montar o nosso sistema. Seja um ponto de coordenadas . Ele pertence a se, e somente se, existe um ponto que pertence a e .

Portanto, se pertence a , temos:

E, se , também temos:

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro . Portanto,

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

Resposta

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Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada. c) x 2 + y 2 = 9

Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.a) - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Mostre que a cúbica retorcida x = t, y = t 2 e z = t 3 está contida no cilindro de equação y = x 2 .

Dadas as equações da curva diretriz e um vetor paralelo as retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica. b) x 2 + z 2 = 1 ,y = 0eV = ( 2 , 1 , - 1 )

Dadas as equações da curva diretriz e um vetor paralelo as retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica. c) x 2 - y 2 = 1 ,z = 0eV = ( 0 , 2 , - 1 )