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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.3 - Ex. 4

Seja T : P 2 → P 2 a transformação linear dada por T p t = t p ' t + p ' ' ( t ) .

a) Encontre a matriz A que representa T com relação a B = 1 , t , t 2 .

b) Encontre a matriz B que representa T com relação a C = 1 , t , 1 + t 2 .

c) Encontre a matriz P tal que B = P - 1 A P .

d) Se p t = a 0 + a 1 t + a 2 1 + t 2 , calcule T n P .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : P 2 → P 2 a transformação linear dada por T p t = t p ' t + p ' ' ( t ) .

a) Encontre a matriz A que representa T com relação a B = 1 , t , t 2 .

b) Encontre a matriz B que representa T com relação a C = 1 , t , 1 + t 2 .

c) Encontre a matriz P tal que B = P - 1 A P .

d) Se p t = a 0 + a 1 t + a 2 1 + t 2 , calcule T n P .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Dado T : P 2 → P 2 dado por T p t = t p ' t + p ' ' ( t ) na letra (a) para encontrar a matriz A que representa T com relação a B = 1 , t , t 2 , temos

t 1 = 0.1 + 0 . t + 0 . t 2 + . T t = 0.1 + 1 . t + 0 . t 2 . T ( t 2 )

Ficando,

2.1 + 0 . t + 2 t 2 , logo

A = T B B = 0 0 2 0 1 0 0 0 2

Na letra (b) para encontrar a matriz B que representa T com relação C = { 1 , t , 1 + t 2 } ficando,

T 1 + t 2 = T t 2 = 0.1 + 0 . t + 2 . ( 1 + t 2 )

Chegando em,

B = T C C = 0 0 0 0 1 0 0 0 2

Passo 3

Na letra ( c ) para encontrar a matriz p tal que B = p - 1 A P temos,

B = T C C = I B C T B B I C B , logo

P = I C B = 1 0 1 0 1 0 0 0 2

E por fim na letra (d) seja p t = a 0 + a 1 t + a 2 ( 1 + t 2 ) temos,

p t = a 0 + a 1 t + a 2 ( 1 + t 2 ) ficando,

T p C = T C C P C = B p C

Logo,

B n p C = 0 0 0 0 1 n 0 0 0 2 n a 0 a 1 a 2 = 0 a 1 2 n a 2

Ficando,

T n p = a 1 t + ( 2 n a 2 ) ( 1 + t 2 )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 0 0 2 0 1 0 0 0 2

b) 0 0 0 0 1 0 0 0 2

c) 1 0 1 0 1 0 0 0 2

d) T n p = a 1 t + ( 2 n a 2 ) ( 1 + t 2 )

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