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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.3 - Ex. 5

Considere a reta r : x , y , z = t 1,1 , 1 . Sejam B = E 1 , E 2 , E 3 a base canônica do R 3 e C = U 1 , U 2 , U 3 a base ortonormal de R3 definida por U 1 = 1 3 1,1 , 1 , U 2 = 1 2 - 1,1 , 0 e U 3 = 1 6 ( - 1 , - 1,2 ) .

a) Seja P r : R 3 → R 3 a projec¸ao ortogonal na reta r. Encontre P r C C     e     P r B B .

b) Seja R r : R 3 → R 3 a reflexão em relação a reta r. Encontre R r C C     e     R r B B .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão para considerar a reta r : x , y , z = t 1,1 , 1 . Sejam B = E 1 , E 2 , E 3 a base canônica do R 3 e C = U 1 , U 2 , U 3 a base ortonormal de R3 definida por U 1 = 1 3 1,1 , 1 , U 2 = 1 2 - 1,1 , 0 e U 3 = 1 6 ( - 1 , - 1,2 ) .

a) Seja P r : R 3 → R 3 a projec¸ao ortogonal na reta r. Encontre P r C C     e     P r B B .

b) Seja R r : R 3 → R 3 a reflexão em relação a reta r. Encontre R r C C     e     R r B B .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Dado,

r : x , y , z = t 1,1 , 1 C = U 1 , U 2 , U 3

B = E 1 , E 2 , E 3

Com,

U 1 = 1 3 1,1 , 1 , U 2 = 1 2 - 1,1 , 0 e U 3 = 1 6 ( - 1 , - 1,2 ) .

Temos que na letra (a) para encontrar P r C C     e     P r B B

P r U 1 = U 1 = 1 U 1 + 0 U 2 + 0 U 3

P r U 2 = 0 = 0 U 1 + 0 U 2 + 0 U 3

P r U 3 = 0 - = 0 U 1 + 0 U 2 + 0 U 3

Ficando,

P = I C B = 3 3 6 3 0 3 3 - 6 3 2 2 3 3 - 6 3   - 2 2

P r E 1 = p r o j ( 1,1 , 1 ) E 1 = 1 3 E 1 + 1 3 E 2 + 1 3 E 3

P r E 2 = p r o j ( 1,1 , 1 ) E 2 = 1 3 E 1 + 1 3 E 2 + 1 3 E 3

Assim,

P r B B = 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3  

Passo 3

Na letra (b) para encontrar R r C C     e     R r B B temos,

R r U 1 = U 1 = 1 U 1 + 0 U 2 + 0 U 3

R r U 2 = - U 2 = 0 U 1 - 1 U 2 + 0 U 3

R r U 3 = - U 3 = 0 U 1 + 0 U 2 - 1 U 3

Com isso,

R r E 1 = 2 p r o j ( 1,1 , 1 ) E 1 = - 1 3 E 1 + 2 3 E 2 + 2 3 E 3

R r E 2 = 2 p r o j ( 1,1 , 1 ) E 2 = 2 3 E 1 - 1 3 E 2 + 2 3 E 3

R r E 3 = 2 p r o j ( 1,1 , 1 ) E 1 = 2 3 E 1 + 2 3 E 2 - 1 3 E 3

Assim,

R r B B = - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3  

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) P r B B = 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3  

b) R r B B = - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3  

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