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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 25

Sabemos que T   :   R 2   →   R 2 , definida por T   ( x ,   y )   =   ( a x   +   b y ,   c x   +   d y ) , tem posto 1 quando a, b, c, d não são todos iguais a zero e existe algum k ∈ R tal que b = ka e d = kc, ou seja, quando sua matriz não é nula e tem a forma a   k a   c   k c   . Seja T   :   R 2   →   R 2   uma transformação linear de posto 1.

  1. Prove que existe algum v ≠   0 tal que T · v = 0.
  2. Prove que se o vetor u ∈ R é linearmente independente do v do item anterior, então T u ≠ 0 .
  3. Prove que se T   :   R 2   →   R 2   tem posto 1 então os vetores v ∈ R tais que T · v = 0 formam uma reta contendo 0

Passo 1

  1. Fala minha gente linda, vamos provar, força!

    2. Se T ⋅ v = 0 , então:

    a x + b y , c x + d y = 0

    a x + b y = 0

    c x + d y = 0

    Assim, para satisfazer a condição, basta que:

    a   b   c   d   = a d - b c = 0 → a d = b c

    Essa é condição para que   v   seja não nulo e a T ⋅ v seja 0.

    Passo 2

  2. Tomando o vetor u como u = e , f , vamos verificar que ele é LI

    3. α 1 ⋅ x , y + α 2 ⋅ e , f = 0

    α 1 x ,   α 2 y + α 2 e , α 2 f = 0

    α 1 x + α 2 e = 0

    α 1 y + α 2 f = 0

    α 1 = α 2 = 0 para que u seja LI à v.

    x   e   y   f   = 0 → x f = e y

    Se eles são LI, os vetores são não colineares, e a matriz tem posto 2.

    Então, se T ⋅ u = 0 , então:

    a e + b f , c e + d f ≠ 0

    a e + b f ≠ 0

    c e + d f ≠ 0

    a   b   c   d   ≠ a d - b c ≠ 0 → a d ≠ b c

    Passo 3

  3. Se a transformada tem posto 1 e   T ⋅ v = 0 forma uma reta que passa pela origem, então, por exemplo, a coluna contendo “a c” é múltipla da coluna que contem “b d”. Isto é, b=ka e d=kc para k ∈ R.

T ⋅ v = a x + b y , c x + d y = a x + k a y , c x + k c y

= a x + k y , c x + k y = t a , t c ,   s e n d o   t = x + k y

Qualquer vetor v ∈   R 2 num vetor sobre a reta que passa pela origem e contém o vetor z = ( a , c ) é transformado por T.

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração
  3. Demonstração

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