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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 30b

Seja   0   uma matriz 2 × 2 com todas as entradas nulas.

(b) Existe alguma matriz A de tamanho 2 × 2 tal que A ≠ 0 e A A = A ? Justifique sua resposta

Passo 1

Esse problema aborda uma definição da álgebra. Essa definição é de que existe uma matriz onde seu produto matricial resulta nela mesma.

Nesse caso, essa matriz é a matriz identidade I = 1 0 0 1

Passo 2

Nas propriedades da matriz identidade, temos que

A I = I A = A

Agora, se tornarmos A = I = 1 0 0 1 , podemos ter a condição A A = A satisfeita.

Passo 3

Vamos testar se a matriz com essas condições satisfaz A A = A :

A = 1 0 0 1

A A = 1 0 0 1 1 0 0 1

A A = 1 × 1 + ( 0 × 0 ) 1 × 0 + ( 0 × 1 ) 0 × 1 + ( 1 × 0 ) 0 × 1 + ( 1 × 1 )

A A = 1 0 0 1

Resposta

Portanto, existe uma matriz A ≠ 0 tal que   A A = A . Essa matriz é uma matriz identidade 1 0 0 1

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