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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.4 - Ex. 3

Encontre as dimensões dos seguintes subespaços do R 4 :

(a) Todos os vetores da forma ( a , b , c , d ) , onde d = a + b ;

(b) Todos os vetores da forma ( a , b , c , d ) , onde c = a - b   e   d = a + b ;

(c) Todos os vetores da forma ( a + c , a - b , b + c , - a + b ) .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para encontrar as dimensões dos seguintes subespaços do R 4 :

(a) Todos os vetores da forma ( a , b , c , d ) , onde d = a + b ;

(b) Todos os vetores da forma ( a , b , c , d ) , onde c = a - b   e   d = a + b ;

(c) Todos os vetores da forma ( a + c , a - b , b + c , - a + b ) .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para todas os vetores da forma a , b , c , d , onde d = a + b , temos

a , b , c , d = a , 0,0 , a + 0 , b , 0 , b + 0,0 , c , 0 =

a 1,0 , 01 + b 0,1 , 0,1 + c ( 0,0 , 1,0 )

Logo,

S = { V 1 = 1,0 , 0,1 ,   V 2 = 0,1 , 0,1 ,   V 3 = 0,0 , 1,0 }

Ficando,

x 1,0 , 0,1 + y 0,1 , 0,1 + z 0,0 , 1,0 = ( 0,0 , 0,0 )

Escalonando temos,

S = { v 1 = 1,0 , 0,1 ; v 2 = 0,1 , 0,1 ; v 3 = 0,0 , 1,0 } sendo ela um subespaço de dimensão 3.

Na letra (b) para todos os vetores da forma ( a , b , c , d ) , onde c = a - b     e     d = a + b , temos

a , b , a - b , a + b = a , 0 , a , a + 0 , b , - b , b = a 1,0 , 1,1 + b ( 0,1 , - 1,1 )

Logo,

S = { v 1 = 1,0 , 1,1 ;   v 2 = ( 0,1 , - 1,1 ) gerando uma dimensão de subespaço 2.

Passo 3

E por fim na letra ( c ) para todos os vetores da forma ( a + c , a - b , b + c , - a + b ) , temos

a + c , a - b , b + c , - a + b = a 1,1 , 0 , - 1 + b 0 , - 1,1 , 1 + c ( 1,0 , 1,0 )

Ficando,

S = { v 1 = 1,1 , 0 , - 1 , v 2 = 0 , - 1,1 , 1 ,   v 3 = 1,0 , 1,0 }

Agora para verificarmos se ela L.I, temos que

x 1,1 , 0 , - 1 + y 0 , - 1,1 , 1 + z 1,0 , 1,0 = ( 0,0 , 0,0 )

Ficando,

1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

z = 1 ,   y = - 1 , x = - 1

Com isso,

S = { v 1 = 1,1 , 0 , - 1 , v 2 = 0 , - 1,1 , 1 }

Sendo um subespaço de dimensão 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) subespaço de dimensão 3

b) dimensão de subespaço 2

c) subespaço de dimensão 2

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