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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 2

Sejam a1x + b1y + c1z = d1 e a2x + b2y + c2z = d2 as equações de 2 planos que têm a reta r em comum. Mostre que a3x + b3y + c3z = d3 é a equação de um plano que contém essa mesma reta se, e somente se, existem α, β ∈ R tais que a3 = αa1 + βa2, b3 = αb1 + βb2, c3 = αc1 + βc2 e d3 = αd1 + βd2.

Passo 1

Como as equações 1 e 2 tem a mesma reta então existem infinitos k pertencentes a essa reta que obedecem a razão:

a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = k

Esse k pode ser equivalente a α e β , se e somente se forem nulos não simultâneos, dessa forma a equação a seguir é válida, caso forem alternando quem é nulo contendo a mesma reta.

a 3   =   α a 1   +   β a 2 ,   b 3   =   α b 1   +   β b 2 ,   c 3   =   α c 1   +   β c 2   e   d 3   =   α d 1   +   β d 2 .

Resposta

Demonstração

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Em cada parte, encontre matrizes A ,x e b que expressem o sistema de equações lineares 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 = - 3 - x 1 - 5 x 2 - 2 x 3 = 3 - 4 x 2 + x 3 = 0 como uma única equação matricial A x = b
Em cada parte, expresse a equação matricial 1 1 1 2 3 0 5 - 3 - 6 . x 1 x 2 x 3 = 2 2 - 9 como um sistema de equações lineares.
Encotnre todos os valores de k , se houver, que satisfazem a equação k 1 1 . 1 1 0 1 0 2 0 2 - 3 . k 1 1 = 0
Em cada parte, expresse a equação matricial 3 - 1 2 4 3 7 - 2 1 5 . x 1 x 2 x 3 = 2 - 1 4 como um sistema de equações lineares.
Em cada parte, encontre matrizes A ,x e b que expressem o sistema de equações lineares x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = - 3 2 x 1 + x 2 = 0 - 3 x 2 + 4 x 3 = 1 x 1 + x 3 = 5 como uma única equação matricial A x