Sejam a1x + b1y + c1z = d1 e a2x + b2y + c2z = d2 as equações de 2 planos que têm a reta r em comum. Mostre que a3x + b3y + c3z = d3 é a equação de um plano que contém essa mesma reta se, e somente se, existem α, β ∈ R tais que a3 = αa1 + βa2, b3 = αb1 + βb2, c3 = αc1 + βc2 e d3 = αd1 + βd2.

Passo 1

Como as equações 1 e 2 tem a mesma reta então existem infinitos k pertencentes a essa reta que obedecem a razão:

a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = k

Esse k pode ser equivalente a α e β , se e somente se forem nulos não simultâneos, dessa forma a equação a seguir é válida, caso forem alternando quem é nulo contendo a mesma reta.

a 3   =   α a 1   +   β a 2 ,   b 3   =   α b 1   +   β b 2 ,   c 3   =   α c 1   +   β c 2   e   d 3   =   α d 1   +   β d 2 .

Resposta

Demonstração

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