Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 2b
Sejam , assim definidos:
e
Determinar:
a) ;
b e
c) uma base e a dimensão de .
Passo 1
E aí? Bora matar mais essa?
Para resolver esse exercício, vamos transcrever tudo em matriz canônica, porque irá facilitar para gente. Beleza?
Primeiro vamos escrever como se fosse uma soma. Segundo vamos colocar em evidência e . E por fim vamos reescrever em forma de uma matriz.
Molezinha, não foi?
Passo 2
Agora vamos resolver essas operações, para isso vamos realizar as oprações entre as matrizes, e depois retornar como estavam no início no exercício.
Para, primeiro fazermos:
Agora vamos determinar o núcleo,para isso vamos igualar a zero (vamos chamar de para facilitar na anotação):
Vamos montar em forma de sistema:
Vamos isolar na terceira equação:
Agora vamos substituir na segunda equação :
Isolando :
Substituindo e na primeira equação, temos:
Temos que:
Temos que a base é:
Passo 3
Vamos iniciar seguindo a mesma lógica do Passo 2.
Para, primeiro fazermos:
Para determinar , vamos usar o vetor , e reescreve-lo como soma de outros vetores:
Vamos verificar se nossos vetores são
Vamos escrever na forma de sistema:
Temos que:
Podemos escolher qualquer equação para começar substituindo . Vamos fazer com a primeira:
Agora isolando , temos:
Substituindo na terceira equação e :
Temos:
Os três vetores são linearmente dependentes, pois .
Para que sejam linearmente independentes precisamos excluir o vetor , porque aí não temos o , e não teremos dependência. Mas, bora conferir isso?
Usando os vetores:
Vamos escrever na forma de sistema:
Temos:
Podemos escolher qualquer equação para substituir . Vamos fazer com a primeira:
Então, temos a partir dos vetores e que:
Arrasamos. Bora que ainda falta uma!!!