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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 2c

Sejam F , G ∈ L   R 3 assim definidos:

F ( x ,   y ,   z )   =   ( x   +   y ,   z   +   y ,   z ) e G ( x ,   y ,   z )   =   ( x   +   2 y ,   y   -   z ,   x   +   2 z )

Determinar:

a) F ∙ G ;

b )   K e r ( F ∙ G ) e I m   ( G ∙ F ) .

c) uma base e a dimensão de K e r F 2 ∙ G .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Para resolver esse exercício, vamos transcrever tudo em matriz canônica, porque irá facilitar para gente. Beleza?

Primeiro vamos escrever como se fosse uma soma. Segundo vamos colocar em evidência x e y . E por fim vamos reescrever em forma de uma matriz.

F x , y , z = x   +   y ,   z   +   y ,   z = x + y z + y z = x 0 0 + y y 0 + 0 z z

F x , y , z = x   +   y ,   z   +   y ,   z = x 1 0 0 + y 1 1 0 + z 0 1 1 = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 x y z

G x ,   y ,   z = x   +   2 y ,   y   -   z ,   x   +   2 z = x   +   2 y y   -   z x   +   2 z = x 0 x + 2 y y 0 + 0 - z 2 z

G x ,   y ,   z = x 1 0 1 + y 2 1 0 + z 0 - 1 2 = 1 2 0 0 1 - 1 1 0 2 x y z

Molezinha, não foi?

Passo 2

Agora vamos resolver essas operações, para isso vamos realizar as oprações entre as matrizes, e depois retornar como estavam no início no exercício.

Para   K e r F 2 ∙ G , primeiro fazermos F 2 ∙ G :

F 2 = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 x y z ∙ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 x y z

F 2 = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ∙ 1 1 0 0 1 1 0 0 1

F 2 = 1 2 1 0 1 2 0 0 1 x y z

F 2 = x + 2 y + z , y + 2 z , z

Agora vamos fazer F 2 ∙ G :

F 2 ∙ G = 1 2 1 0 1 2 0 0 1 x y z ∙ 1 2 0 0 1 - 1 1 0 2 x y z

F 2 ∙ G = 1 2 1 0 1 2 0 0 1 ∙ 1 2 0 0 1 - 1 1 0 2

F 2 ∙ G = 2 4 0 2 1 3 1 0 2 x y z

F 2 ∙ G = 2 x + 4 y , 2 x + y + 3 z , x + 2 z

Passo 3

Agora vamos determinar o núcleo, para isso vamos igualar a zero (vamos chamar F 2 ∙ G de H para facilitar na anotação):

H x ,   y ,   z = 2 x + 4 y , 2 x + y + 3 z , x + 2 z

2 x + 4 y , 2 x + y + 3 z , x + 2 z = 0,0 , 0

Vamos montar em forma de sistema:

2 x + 4 y = 0 2 x + y + 3 z = 0 x + 2 z = 0

Vamos isolar x na terceira equação:

x + 2 z = 0

x = - 2 z

Agora vamos substituir z na segunda equação :

2 x + y + 3 z = 0

2 - 2 z + y + 3 z = 0

- 4 z + y + 3 z = 0

y - z = 0

Isolando y :

y = z

Substituindo x e y na primeira equação, temos:

2 x + 4 y = 0

2 - 2 z + 4 z = 0

- 4 z + 4 z = 0

0 z = 0

Temos que:

z = z

Temos que a base é:

K e r H = - 2 z , z , z

K e r F = z - 2,1 , 1

Temos que a dimensão de K e r H é:

dim ⁡ K e r H = 1

Arrebentamos. Bora para a próxima questão???

Resposta

dim ⁡ K e r F 2 ∙ G = 1

K e r F 2 ∙ G   = - 2,1 , 1

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