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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 9

Sejam F , G ∈ L P 2 R 2 , P 3 R 2 assim definidos: F p t = t p t - p 1 e G p t = t - 1 p t , ∀ p t ∈ P 2 R 2 . Determinar as matrizes de F e de G em relação ao seguinte par de bases: B = 1 , t - 1 , t - 1 2 e C = 1 , t - 1 , t - 1 2 , t - 1 3

Passo 1

Vamos lá a mais uma questão! Agora, temos que determinar as matrizes de transformação F B , C e G B , C . Não se assustem por causa dos nossos espaços vetoriais. O procedimento para polinômios é exatamente o mesmo que para matrizes ou R n .

E se o procedimento é o mesmo, o que precisamos fazer então? Vejam só, vamos começar a análise para a matriz da transformação F . A ideia é vocês pegarem cada vetor da base B , aplicar a transformação F e depois escrever como combinação linear dos vetores de C . Isto é:

F 1 = α 11 1 + α 21 t - 1 + α 31 t - 1 2 + α 41 t - 1 3

Com isto teremos um sistema e nosso trabalho é descobrir os valores de cada um destes coeficientes α . Como utilizamos o primeiro vetor de B , teremos a primeira coluna da matriz F B , C . E assim por diante

Passo 2

Vamos agora para o trabalho braçal! Fazer várias contas! Começaremos pela determinação da matriz F B , C e utilizaremos o procedimento descrito no Passo 1. Então, para o primeiro vetor de B , p t = 1 , temos:

F 1 = t - 1 = α 11 1 + α 21 t - 1 + α 31 t - 1 2 + α 41 t - 1 3

Não precisamos nem desenvolver os termos t - 1 2 e t - 1 3 . Analisando a equação acima, percebe-se rapidamente que α 11 = α 31 = α 41 = 0 e α 21 = 1 . Com isto, temos os elementos da primeira coluna da matriz.

Agora, vamos para o segundo vetor de B , o qual é p t = t - 1 . Então,

F t - 1 = t t - 1 - 1 - 1 = t 2 - t

É, agora não tem pra onde correr, vamos ter que desenvolver os termos t - 1 2 e t - 1 3 . Continuando com as contas,

t 2 - t = α 12 + α 22 t - 1 + α 32 t - 1 2 + α 42 t - 1 3

t 2 - t = α 12 + α 22 t - 1 + α 32 t 2 - 2 t + 1 + α 42 t 3 - 3 t 2 + 3 t - 1

t 2 - t = α 42 t 3 + - 3 α 42 + α 32 t 2 + 3 α 42 - 2 α 32 + α 22 t + - α 42 + α 32 - α 22 + α 12

Comparando termo a termo (tudo que multiplica t 3 , t 2 , t e 1), montamos o seguinte sistema:

α 42 = 0 - 3 α 32 + α 32 = 1 3 α 42 - 2 α 32 + α 22 = - 1 - α 42 + α 32 - α 22 + α 12 = 0 ⟹ α 42 = 0 α 32 = 1 α 22 = 1 α 12 = 0

Cuja solução é α 12 = α 42 = 0 e α 22 = α 32 = 1 . Assim, descobrimos os valores para a segunda coluna da matriz F B , C .

Repetindo o procedimento para o terceiro e último vetor de B , o qual é p t = t - 1 2 , temos:

F t - 1 2 = t t - 1 2 - 1 - 1 2 = t t - 1 2 = t 3 - 2 t 2 + t

Então,

t 3 - 2 t 2 + t = α 1 3 + α 2 3 t - 1 + α 3 3 t - 1 2 + α 4 3 t - 1 3

t 3 - 2 t 2 + t = α 4 3 t 3 + - 3 α 4 3 + α 3 3 t 2 + 3 α 4 3 - 2 α 3 3 + α 2 3 t + - α 4 3 + α 3 3 - α 2 3 + α 1 3

Então, comparando termo a termo, obtemos o seguinte sistema:

α 4 3 = 1 - 3 α 43 + α 3 3 = - 2 3 α 4 3 - 2 α 3 3 + α 2 3 = 1 - α 4 3 + α 3 3 - α 2 3 + α 1 3 = 0 ⟹ α 4 3 = 1 α 3 3 = 1 α 2 3 = 0 α 1 3 = 0

Cuja solução é α 13 = α 23 = 0 e α 33 = α 43 = 1

Passo 3

Para finalizarmos a primeira parte da questão, vamos escrever a matriz F B , C . Como a base B tem três vetores, teremos uma matriz com 3 colunas. Já como a base C tem quatro vetores, teremos uma matriz com 4 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B , C = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 α 41 α 42 α 43

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B , C = 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

E esta é a matriz da transformação F !

Passo 4

Agora nós temos que repetir todo o procedimento que fizemos para a matriz F B , C , só que para a transformação G .

A única diferença está apenas na lei da transformação. Todo o resto do procedimento será o mesmo. Sendo assim, para o primeiro vetor de B , p t = 1 , temos:

G 1 = t - 1 ⋅ 1 = t - 1

t - 1 = α 11 1 + α 21 t - 1 + α 31 t - 1 2 + α 41 t - 1 3

Não precisamos nem desenvolver os termos t - 1 2 e t - 1 3 . Analisando a equação acima, percebe-se rapidamente que α 11 = α 31 = α 41 = 0 e α 21 = 1 . Com isto, temos os elementos da primeira coluna da matriz.

Agora, vamos para o segundo vetor de B , o qual é p t = t - 1 . Então,

G t - 1 = t - 1 t - 1 = t - 1 2

t - 1 2 = α 12 + α 22 t - 1 + α 32 t - 1 2 + α 42 t - 1 3

Novamente, não precisamos desenvolver os termos. Facilmente percebemos que α 12 = α 22 = α 42 = 0 e α 32 = 1 .

Por fim, repetindo o procedimento para o terceiro e último vetor de B , o qual é p t = t - 1 2 , temos:

G t - 1 2 = t - 1 t - 1 2 = t - 1 3

t - 1 3 = α 13 + α 23 t - 1 + α 33 t - 1 2 + α 43 t - 1 3

Então, a solução é α 13 = α 23 = α 33 = 0 e α 43 = 1

Passo 5

Finalizando a questão, a matriz G também será uma matriz 4 x 3 e será dada por:

g B , C = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 α 41 α 42 α 43

E substituindo os valores obtidos no Passo 4, temos:

G B , C = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

E esta é a matriz da transformação G !

Resposta

F B , C = 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

G B , C = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

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