Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 7
Seja uma base de um espaço vetorial sobre . Sendo dados por , . , , e , determinar em relação à base as matrizes dos seguintes operadores lineares:
Passo 1
Calma! Muita calma nesta hora. Não se assustem pela quantidade de informações pedidas na questão. Todas estas matrizes dos operadores lineares que a questão pede pode ser conseguida tranquilamente.
Para isto, basta fazermos algumas operações de soma e multiplicação de matrizes.
Mas para podermos fazer estas somas e multiplicações, nós precisamos de algo antes. Da essência! Bom, sem continuar enrolando, precisamos das matrizes de e (inclusive são duas respostas que a questão pede)!
Então, o nosso primeiro trabalho será determinar cada uma dessas matrizes. Mas como faremos isto? Então, vamos pegar cada vetor de e aplicar a transformação e . Por exemplo, vamos calcular . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de , isto é:
E o que iremos descobrir é são os coeficientes , elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base ).
Passo 2
Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Vamos obter inicialmente a matriz do operador . Começando pelo vetor , temos:
Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: , e .
Repetindo o procedimento para o segundo vetor de , temos:
Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: , e . Por fim, para o terceiro e último vetor de , temos:
E os últimos valores de que precisamos são e .
Agora, vamos obter a matriz do operador . Como a base tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas e 3 linhas. Desta forma, a nossa matriz será:
Substituindo os valores de cada um dos , temos:
Passo 3
Agora nós devemos repetir todo o procedimento do Passo 2, só que para o operador .Então, começando pelo vetor , temos:
Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: , e .
Repetindo o procedimento para o segundo vetor de , temos:
Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: e . Por fim, para o terceiro e último vetor de , temos:
E os últimos valores de que precisamos são , e .
Agora, vamos obter a matriz do operador . Como a base tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas e 3 linhas. Desta forma, a nossa matriz será:
Substituindo os valores de cada um dos , temos:
Passo 4
Após obtermos as matrizes das transformações e , basta fazermos operações de somas e multiplicações para obtermos as matrizes dos outros operadores.
Começando por , temos:
Uma simples soma de matrizes, né? Agora, para , temos:
E para e ? Para resolvermos, vamos interpretar essa relação de composição de transformações como multiplicação de matrizes. Portanto,
E ? Mesmo procedimento que fizemos para a composição. Então, vamos ter que multiplicar mais matrizes! Logo,
Passo 5
Para finalizarmos a questão, vamos tentar determinar as matrizes inversas e .
Começaremos trabalhando com a matriz expandida de e utilizar as operações de linhas e colunas para tentar transformar em . Então,
Somando a segunda linha com a primeira e depois subtraindo a primeira linha da terceira, temos:
Subtraindo a terceira linha da segunda, temos:
Agora, vamos somar a segunda linha com a terceira, e depois multiplicar a terceira linha por -1. Então,
Então, como obtemos , significa que existe e é dado por:
Por fim, vamos repetir o procedimento para , então,
Somando a segunda linha com a terceira, temos:
Nem precisamos continuar mais. Como na primeira matriz aparece uma linha nula, significa dizer que não possui uma inversa. Outra forma de ter visto isso seria verificar que possui duas linhas iguais. Consequentemente, o seu determinante é 0, o que implica na matriz não possuir inversa.
E finalmente, finalizamos esta questão.