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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 11

Se a matriz de um operador linear F do R 3 em relação à base canônica é

1 1 0 0 1 0 0 1 - 1

E se H = I + F + F 2 , determine a matriz de H em relação à base canônica do R 3 . Ache também H x , y , z .

Passo 1

Vamos lá! A questão foi bem direta ao ponto e quer que calculemos a matriz de H e que obtenhamos a lei desta transformação, isto é, H x , y , z .

Para conseguirmos determinar H x , y , z , precisaremos inicialmente da matriz H . E como faremos isto? Antes de responder esta pergunta, vamos relembrar que a matriz I é a matriz identidade, isto é:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Pronto, e agora? Então, vamos trabalhar com somas e multiplicação de matrizes!

Passo 2

Como assim trabalhar com somas e multiplicação de matrizes? Então, vamos rever a equação que define quem é H :

H = I + F + F 2

E se substituirmos as matrizes de I e F na relação acima? Vamos obter:

H = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 1 0 0 1 0 0 1 - 1 + 1 1 0 0 1 0 0 1 - 1 ⋅ 1 1 0 0 1 0 0 1 - 1

Relembrando, F 2 é o resultado do produto da matriz de F pela própria matriz de F . Agora que montamos as nossas contas, basta seguirmos com os cálculos. Portanto,

H = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 1 0 0 1 0 0 1 - 1 + 1 2 0 0 1 0 0 0 1

H = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 2 3 0 0 2 0 0 1 0

H = 3 3 0 0 3 0 0 1 1

E assim determinamos a matriz de H em relação à base canônica. Portanto, resolvemos a primeira parte da questão.

Passo 3

Para conseguirmos finalizar a questão, precisamos obter o operador H x , y , z . Mas, antes disto, vamos lembrar que a base canônica é B = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 .

Continuando então, temos que fazer o seguinte procedimento: pegamos o primeiro vetor da base B , aplicamos a sua transformação e escrevemos como combinação linear dos vetores de B .

Os coeficientes desta combinação linear serão os coeficientes da primeira coluna de H . Escrevendo matematicamente o que este parágrafo diz, é o seguinte:

H 1,0 , 0 = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

H 1,0 , 0 = 3 ⋅ 1,0 , 0 + 0 ⋅ 0,1 , 0 + 0 ⋅ 0,0 , 1

H 1,0 , 0 = 3,0 , 0

Se fizermos o mesmo procedimento para o segundo vetor de B (e usar os valores da segunda coluna da matriz), temos:

H 0,1 , 0 = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

H 0,1 , 0 = 3 ⋅ 1,0 , 0 + 3 ⋅ 0,1 , 0 + 1 ⋅ 0,0 , 1

H 0,1 , 0 = 3,3 , 1

Repetindo o procedimento para o último vetor de B , temos:

H 0,0 , 1 = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

H 0,0 , 1 = 0 ⋅ 1,0 , 0 + 0 ⋅ 0,1 , 0 + 1 ⋅ 0,0 , 1

H 0,0 , 1 = 0,0 , 1

Passo 4

Agora que obtivemos os valores da transformação para os vetores da base de B , vamos fazer o seguinte: vamos escrever um vetor x , y , z qualquer pertencente a R 3 como combinação linear da base B . Então,

x , y , z = α 1,0 , 0 + β 0,1 , 0 + γ 0,0 , 1

x , y , z = α , β , γ

Comparando coordenada a coordenada, temos a seguinte solução: α = x , β = y e γ = z .

Passo 5

E para finalizarmos a questão, basta aplicarmos a transformação linear ao vetor H x , y , z . Isto é:

H x , y , z

Só que nós não escrevemos H x , y , z como combinação linear dos vetores 1,0 , 0 , 0,1 , 0 e 0,0 , 1 ? Então,

H x , y , z = H x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0 + z 0,0 , 1

Utilizando as propriedades das transformações lineares, temos:

H x , y , z = H x 1,0 , 0 + H y 0,1 , 0 + H z 0,0 , 1

H x , y , z = x H 1,0 , 0 + y H 0,1 , 0 + z H 0,0 , 1

E lá no Passo 2 nós não calculamos H 1,0 , 0 , H 0,1 , 0 e H 0,0 , 1 ? Substituindo os seus valores,

H x , y , z = x 3,0 , 0 + y 3,3 , 1 + z 0,0 , 1

H x , y , z = 3 x + 3 y , 3 y , y + z

E assim finalmente finalizamos nossa questão!

Resposta

H = 3 3 0 0 3 0 0 1 1

H x , y , z = 3 x + 3 y , 3 y , y + z

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