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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 20

Sejam F ,   G ∈ L V . Se F é um automorfismo e α é um escalar ≠ 0 , mostrar que:

ρ α G = ρ G e ρ F ∘ G = ρ G ∘ F = ρ G .

(Veja o exercício resolvido n° 11).

Passo 1

O primeiro passo desta questão é voltar lá no exercício resolvido 11 para entendermos quem é esse ρ e pegar algumas dicas (sempre bom uma dica néee).

E então, o que obtemos de lá? Primeiro, este ρ é o posto de uma matriz, o qual é equivalente a dimensão da imagem da transformação (também podemos interpretar como o número de linhas não nulas na matriz na sua forma escalonada, mas aqui não é interessante esta ideia).

E lá na questão 11, é desenvolvido algumas relações que podem servir de sacada para a resolução desta questão. Então, é sempre bom olharem as dicas com calma. Vai que elas ajudam a gente a resolver!

Passo 2

Vamos começar a nossa questão verificando que ρ α G = ρ G . A nossa transformação G é dada por G : V → V . Então, dado u ∈ V , G u = v e v ∈ V .

Da mesma forma, como uma das propriedades das transformações lineares, temos G α u = α G u = α v , e também podemos dizer que α v ∈ V .

Mas sim, qual o motivo de fazermos isto acima? Bom, a análise serviu para mostrar que a imagem não altera de dimensão, continuamos com múltiplos do vetor v ∈ V . Portanto, podemos escrever a seguinte relação:

I m G u = I m G α u

Portanto, como o posto é exatamente a dimensão da imagem, temos:

dim ⁡ I m G u = dim ⁡ I m G α u

ρ G = ρ α G

E assim verificamos a primeira parte da questão.

Passo 3

Agora precisamos provar a segunda relação, ρ F ∘ G = ρ G ∘ F = ρ G . Novamente, lembrando, F : V → V e G : V → V .

Continuando, vamos começar trabalhando com o termo ρ G ∘ F = ρ G e com o teorema do núcleo e imagem.

Como a transformação F é um automorfismo, temos que ker ⁡ F = 0 . Pelo teorema do núcleo e imagem, podemos escrever que:

dim ⁡ V = ker ⁡ F + I m   F

dim ⁡ V = I m   F

Importante ressaltar que o V que aparece acima é o domínio da nossa função! Ficou um pouco confuso já que temos F : V → V (domínio e contradomínio são os mesmos espaços vetoriais).

Portanto, temos que F u ∈ V . Então, se escrevermos v = G F u , teremos que v ∈ V = I m   G . Desta forma, podemos escrever que:

I m   G ∘ F = I m   G

E consequentemente,

dim ⁡ G ∘ F = dim ⁡ G

ρ G ∘ F = ρ G

Conseguiram entender a relação? Como a imagem de F corresponde ao seu contradomínio, e este contradomínio é o mesmo espaço do domínio de G , então, basicamente temos “ G ∘ F = G ” (cuidado com as aspas, é pra dizer que são semelhantes, mas não são iguais!!!!)

Passo 4

Por fim, vamos verificar a outra parte que faltou da relação que discutimos no Passo anterior, isto é, ρ F ∘ G = ρ G

Vamos precisar novamente do teorema do núcleo e imagem. No passo anterior vimos que:

dim ⁡ V = dim ⁡ I m   F

Lembrando, este V é o espaço vetorial do domínio! Portanto, a dimensão da imagem de F é exatamente a dimensão do seu domínio.

Então, se a gente olha a relação F ∘ G = F G u , dado u ∈ V , fica o questionamento: quem é o domínio da nossa função F ?

Não seria exatamente a transformação G u , ou melhor, a imagem da transformação G ? Portanto, podemos reescrever o teorema do núcleo e imagem, para este caso, da seguinte forma:

dim ⁡ I m   ( G ) = dim ⁡ I m   F ∘ G

E portanto,

ρ G = ρ F ∘ G

E assim nós finalmente finalizamos a nossa questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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