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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 15

Sejam F e G operadores lineares de um espaço V tais que F ∘ G = G ∘ F . Mostrar que ker ⁡ F + ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G .

Passo 1

Nosso primeiro passo é entender o que a relação ker ⁡ F + ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G quer dizer. Se lermos ela “literalmente”, obteremos que: o núcleo de F somado com o núcleo de G estão contidos no núcleo de F ∘ G .

Como assim núcleo somado com núcleo? E o que é o núcleo? Então, vamos começar explicando o que o núcleo. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto dos vetores u tais que:

F u = 0

Da mesma forma que fazemos para a transformação linear F , para o operador G , o conjunto dos vetores v tais que G v = 0 corresponde ao núcleo de G .

Certoo! Então, o que a expressão ker ⁡ F + ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G quer dizer é que o conjunto dos vetores u e v estão contidos no núcleo F ∘ G . Então, significa dizer que os vetores u e v satisfazem a relação

F ∘ G u = F ∘ G v = 0

E é exatamente isto que temos que provar!

Passo 2

Provar que a relação ker ⁡ F + ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G é satisfeita, é provar que F ∘ G u = F ∘ G v = 0 , dados F u = 0 e G v = 0

Então, vamos começar devagar. Vamos trabalhar apenas com a parte F ∘ G u = 0 . Vejamos só:

F ∘ G u = F G u

Caramba! Logo no início chegamos a um impasse. Sabemos algo sobre G u ? Não... cuidado para não igualar G u a 0, pois, por definição nossa, assumimos que o conjunto u é núcleo de F , e não de G !

E agora, o que fazer? Desistir? Nunca! Para resolvermos este impasse, precisamos relembrar da definição dita no enunciado da questão. Ela foi:

F ∘ G = G ∘ F

Portanto,

F ∘ G u = G ∘ F u = G F u

Agora sim resolvemos nosso impasse! Como F u = 0 , temos?

G F u = G 0

Por definição dos transformadores lineares, temos G 0 = 0 . Portanto, acabamos de verificar que o conjunto dos vetores u do núcleo de F satisfazem F ∘ G u = G ∘ F u = 0 . Logo, u também faz parte do núcleo de F ∘ G !

Passo 3

Para finalizarmos a questão, temos que fazer o mesmo procedimento que fizemos no Passo 2, só que com os vetores v pertencentes ao núcleo de G .

Seguindo o mesmo raciocínio que desenvolvemos anteriormente, temos:

F ∘ G v = F G v = F 0 = 0

Assim, provamos que o conjunto v também é núcleo de F ∘ G .

Com isto, nós acabamos por provar a relação ker ⁡ F + ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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