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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 30

Sejam B   = ( a → , b → , c → ) uma base de V , u →   =   ( x , y , z ) B . Que condições devem satisfazer x , y e z para que ( a →   +   u → , b →   +   u → , c →   +   u → ) sejam também uma base de V   ?

Passo 1

Pessoal, antes de mais nada temos que relembrar o que define uma base. De acordo com o livro, uma base é uma sequência de três vetores L.I. Então, se B é uma base de V , quer dizer que a → , b → , c → são L.I. Outra coisa que temos que entender é o que significa a notação u →   =   ( x , y , z ) B . Isso nada mais é que uma forma de escrever que

u →   = x a → + y b → + z c →

Sabendo disso, podemos notar que

a →   +   u → = a →   +   x a → + y b → + z c → =   ( x + 1 ) a → + y b → + z c →

b → +   u → =   x a → + ( y + 1 ) b → + z c →

c →   +   u → =   x a → + y b → + ( z + 1 ) c →

Então, o segundo conjunto de vetores será escrito como

( a →   +   u → , b →   +   u → , c →   +   u → ) = (   ( x + 1 ) a → + y b → + z c → ,   x a → + ( y + 1 ) b → + z c → ,   x a → + y b → + ( z + 1 ) c → )

Nesse caso, é melhor escrever esses vetores na mesma notação que u →   =   ( x , y , z ) B . Assim,

a →   +   u → =   ( x + 1 ) a → + y b → + z c → = ( x + 1 , y , z ) B

b → +   u → =   ( x , y + 1 , z ) B

c →   +   u → =   ( x , y , z + 1 ) B

Passo 2

A condição para que o conjunto de vetores obtidos no passo anterior seja uma base é que todos os vetores sejam L.I. Para mostrar que isso é verdade, o determinante da matriz formada pelos três vetores tem que ser diferente de zero. Vamos montar essa matriz, calcular seu determinante e ver qual a condição para que o determinante não seja nulo:

⇒ ( x + 1 ) [ y + z + 1 ] - x y - x z ≠ 0 ⇒ x ( y + z + 1 ) + ( y + z + 1 ) - x y - x z ≠ 0

x + y + z + 1 ≠ 0

Então, a condição para que ( a →   +   u → , b →   +   u → , c →   +   u → ) sejam também uma base de V   é que x + y + z + 1 ≠ 0 .

Resposta

x + y + z + 1 ≠ 0

Exercícios de Livros Relacionados

Considerando a Figura 3.13, calcularf) vec G B xx vec A F
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Sejam os vetores vec u = (1 , - 2 , 1) , vec v = ( 1 , 1 , 1 ) e vec w = ( 1 , 0 , - 1 ) .c) Mostre que vec u xx (vec v xx vec w) = vec 0 .
Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A ( 2 ,3 ,1 ) , B ( 1 ,- 1 ,1 ) e C ( 4 ,1 ,- 2 ) .
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u → + 2 v → e v → - u → , sendo u → = ( - 3 ,2 ,0 ) e v → = ( 0 ,- 1 ,- 2 ) .