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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 33

Dados A   =   ( 2,1 , - 3 ) , s : {   x - 1 1 = y - 1 = z + 3 2 e π { 3 x + 3 y - z + 3 = 0 , escreva equações da reta r que passa por P , intercepta s e é paralela a π .

Passo 1

Última questão do capítulo, galera. Estamos indo muito bem.

Essa questão é muito parecida com a anterior. Começamos escrevendo a equação da reta como

r : x = l t + x 0 ,   y = m t + y 0 ,   z = n t + z 0

Como essa reta passa por A   =   ( 2,1 , - 3 ) , então temos

r : x = l t + 2 ,   y = m t + 1 ,   z = n t - 3

Outra condição importante é que é paralela a π . Então seu vetor diretor deve ser ortogonal ao vetor normal do plano π , que é n → = ( 3,3 , - 1 ) :

n → ⋅ v → r = 0 ⇒ ( l , m , n ) ⋅ ( 3,3 , - 1 ) = 0 ⇒ 3 l + 3 m - n = 0 .

Passo 2

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta

s :   x - 1 1 = y - 1 = z + 3 2 = λ ⇒ x = λ + 1 ,   y = - λ ,   z = - 3 + 2 λ

Como r e s são concorrentes, as suas coordenadas devem ser iguais em um determinado ponto:

x = λ + 1 = l t + 2

y = - λ = m t + 1

  z = - 3 + 2 λ = n t - 3

Vamos multiplicar as duas primeiras equações por 3 e a terceira - 1 :

3 λ + 3 = 3 l t + 6

- 3 λ = 3 m t + 3

3 - 2 λ = - n t + 3

Agora somamos as três equações:

- 2 λ + 6 = ( 3 l + 3 m - n ) t + 12 ⇒ - 2 λ = 6 ⇒ λ = - 3

onde usamos 3 l + 3 m - n = 0 . Agora, substituímos λ = - 3 na reta s para descobrir o ponto de interseção das duas retas:

Q = ( λ + 1 , - λ ,   - 3 + 2 λ ) = ( - 3 + 1 , + 3 , - 3 - 6 ) = ( - 2,3 , - 9 )

Passo 3

Agora que já temos dois pontos pertencentes a reta r , A   =   ( 2,1 , - 3 ) e Q = ( - 2,3 , - 9 ) , podemos calcular o vetor

A Q → = Q - A = ( - 2,3 , - 9 ) -   ( 2,1 , - 3 ) = ( - 4,2 , - 6 )

Esse vetor deve ser paralelo ao vetor diretor da reta, ou seja,

v → r = α A Q → = α ( - 4,2 , - 6 )

Se escolhermos α = - 1 2 , então v → r = ( 2 , - 1,3 ) e

r : x = 2 t + 2 ,   y = - t + 1 ,   z = 3 t - 3

Resposta

x   = 2 + 2   t

y   = 1 - t

z   =   - 3 + 3 t  

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam a reta r e o plano π dado por r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Determinar:O ponto de interseção de r com o plano x O z ;
Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π r : y = 2 x - 1 z = - x + m e π : 5 x - n y + z + 2 = 0
Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : x + y - z + 2 = 0 e π 2 : x + y + 2 z - 1 = 0
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π . r : x = 4 + k y = 3 + 2 k z = - 2 - 3 k e π : x = 2 + h + 2 t y = - 3 - h - t z = 1 + 3 h - 3 t
Nos Problemas 19 a22 , os pares de retas r 1 e r 2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém.20) r 1 :x = 1 + 2 t y = - 2 + 3 t z = 3 - t r 2 :x = 1 - 2 t y = -