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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 7e

Considerando a Figura 3.13, calcular

e) vec O A . ( vec O C xx vec O E )

Passo 1

Pra começar, vamos observar que na figura do exercício a gente tem um cubo de lado a certo? Então, antes de qualquer coisa, vamos dar as coordenadas de todos os pontos que temos, com base na sua localização nos eixos x , y , z .

A = ( a , 0 , 0 )

B = ( a , a , 0 )

C = ( 0 , a , 0 )

D = ( 0 , a , a )

E = ( 0 , 0 , a )

F = ( a , 0 , a )

G = ( a , a , a )

O = ( 0 , 0 , 0 )

Agora sim, vamos fazer o produto pedido pelo enunciado :)

Passo 2

Queremos calcular vec O A . ( vec O C xx vec O E ) , ou seja, primeiro vamos calcular o produto vetorial entre o vetor vec O C e vec O E , dentro dos parênteses, e aí depois fazemos o produto escalar desse resultado com o vetor vec O A .

Primeiro vamos encontrar nossos vetores:

vec O C = C - O = ( 0 , a , 0 )

vec O E = E - O = ( 0 , 0 , a )

vec O A = A - O = ( a , 0 , 0 )

Agora podemos calcular o produto vetorial vec O C xx vec O E = ( 0 , a , 0 ) xx ( 0 , 0 , a ) , ele é dado pelo determinante:

|[[vec i,vec j,vec k],[0,a,0],[0,0,a]]|

Calculando esse determinante, temos

|[[vec i,vec j,vec k],[0,a,0],[0,0,a]]| = a ² . vec i + 0 . vec j + 0 . vec k

Logo, temos que vec O C xx vec O E = ( a ² , 0 , 0 ) .

Passo 3

Agora que fizemos o produto vetorial que tínhamos dentro do parênteses, vamos calcular o produto escalar

vec O A . ( vec O C xx vec O E )

Lembrando que vec O A = ( a , 0 , 0 ) e vec O C xx vec O E = ( a^2 , 0 , 0 ) - calculamos no passo anterior -, temos:

(a , 0 , 0) . ( a^2 , 0 , 0 )

Fazendo o produto escalar:

a . a^2 + 0.0 + 0.0

a ³

Resposta

a ³

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