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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 1

Determinar as coordenadas do vetor u   =   ( 4 ,   - 5 ,   3 ) ∈ R 3 , em relação às seguintes bases:

a) canônica;

b )   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   0 ,   3 ,   1 ,   0 ;

c) 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   3 ,   2 ,   1 ,   1 ,   4 .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

(a) Primeiro vamos escrever o que é a base canônica:

1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Temos que igualar a u , e multiplicar a base canônica por x , y   e   z :

( 4 ,   - 5 ,   3 ) = x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0 + z 0,0 , 1

Agora vamos montar um sistema de equação:

x = 4 y = - 5 z = 3

Temos que como coordenadas:

4 , - 5,3

Passo 2

(b) Temos que igualar a u , e multiplicar a base 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   0 ,   3 ,   1 ,   0 por x , y   e   z :

( 4 ,   - 5 ,   3 ) = x 1 ,   1 ,   1 + y 1 ,   2 ,   0 + z 3 ,   1 ,   0

Agora vamos montar um sistema de equação:

x + y + 3 z = 4 x + 2 y + z = - 5 x = 3

Temos que:

x = 3

Vamos aplicar x na segunda equação:

x + 2 y + z = - 5

3 + 2 y + z = - 5

2 y + z = - 8

Vamos isolar y :

z = - 8 - 2 y

Agora aplicando x e z na primeira equação:

x + y + 3 z = 4

3 + y + 3 - 8 - 2 y = 4

y - 24 - 6 y = 1

Isolando y temos:

- 5 y = 25

y = - 5

Aplicando y em z :

z = - 8 - 2 - 5

z = - 8 + 10

z = 2

Temos que como coordenadas:

3 , - 5,2

Passo 3

(c) Temos que igualar a u , e multiplicar a base 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   3 ,   2 ,   1 ,   1 ,   4 por x , y   e   z :

( 4 ,   - 5 ,   3 ) = x 1 ,   2 ,   1 + y 0 ,   3 ,   2 + z 1 ,   1 ,   4

Agora vamos montar um sistema de equação:

x + z = 4 2 x + 3 y + z = - 5 x + 2 y + 4 z = 3

Agora vamos isolar z na primeira equação:

x + z = 4

x = 4 - z

Vamos aplicar x na segunda equação:

2 4 - z + 3 y + z = - 5

8 - 2 z + 3 y + z = - 5

- z + 8 + 3 y = - 5

Vamos isolar z :

- z + 8 + 3 y = - 5

z = 13 + 3 y

Agora aplicando z em x :

x = 4 - 13 + 3 y

x = 4 - 13 - 3 y

x = - 9 - 3 y

Substituindo x e z na terceira equação:

x + 2 y + 4 z = 3

- 9 - 3 y + 2 y + 4 13 + 3 y = 3

- 9 - y + 52 + 12 y = 3

Isolando y , temos:

11 y = 3 - 43

y = - 40 11

Substituindo y em x :

x = - 9 - 3 y

x = - 9 - 3 - 40 11

x = - 9 + 120 11

Multiplicando toda equação por 11 :

11 x = - 99 + 120

11 x = 21

x = 21 11

Substituindo y em z :

z = 13 + 3 - 40 11

z = 13 - 120 11

Multiplicando toda equação por 11 :

11 z = 143 - 120

11 z = 23

z = 23 11

Temos que como coordenadas:

21 11 , - 40 11 , 23 11

Mandamos bem!!! Até a próxima questão?

Resposta

  1. 4 , - 5,3
  2. 3 , - 5,2
  3. 21 11 , - 40 11 , 23 11
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