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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 3

Determinar as coordenadas do vetor 1,1 , i ∈ C 3   em relação à seguinte base 1,0 , 0 , 0 , i , 0 , 1 , i , 1 + i .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Primeiro temos que igualar a 1,1 , i , e multiplicar a base 1,0 , 0 , 0 , i , 0 , 1 , i , 1 + i por x , y :

1,1 , i = x 1,0 , 0 + y 0 , i , 0 + z 1 , i , 1 + i

Agora vamos montar um sistema de equação:

x + z = 1 i y + i z = 1 z 1 + i = i

Vamos isolar z da terceira equação:

z 1 + i = i

z = i 1 + i

Vamos multiplicar pelo conjugado:

z = i 1 + i ∙ 1 - i 1 - i

z = i 1 - i 1 - i 2

z = i - i 2 1 - - 1

z = i - - 1 1 + 1

z = i + 1 2

z = 1 2 + i 1 2

Agora vamos aplicar z na primeira equação:

x + z = 1

x + 1 2 + i 1 2 = 1

Vamos isolar x :

x = 1 - 1 2 - i 1 2

Vamos multiplicar a equação por 2 :

2 x = 2 - 1 - i

2 x = 1 - i

Isolando x :

x = 1 2 - i 1 2

Agora vamos aplicar z na segunda equação:

i y + i z = 1

i y + i 1 2 + i 1 2 = 1

i y + i 1 2 + i 2 1 2 = 1

i y + i 1 2 + - 1 1 2 = 1

i y + i 1 2 - 1 2 = 1

Isolando y :

i y = 1 - i 1 2 + 1 2

Vamos multiplicar a equação por 2 :

2 i y = 2 - i + 1

i y = 3 2 - i 2

i y = 3 2 - i 2

y = 3 2 - i 2 ∙ 1 i

y = 3 2 ∙ 1 i - i 2 ∙ 1 i

y = 3 - i 2 i

Vamos multiplicar pelo conjugado:

y = 3 - i 2 i ∙ - i - i

y = 3 - i - i 2 i - i

y = - 3 i + i 2 - 2 i 2

y = - 3 i + - 1 - 2 - 1

y = - 3 i - 1 2

y = - 1 2 - i 3 2

Temos que as coordenadas são:

1 2 - i 1 2 , - 1 2 - i 3 2 , 1 2 + i 1 2

Mandamos bem!!! Bora resolver mais uma?

Resposta

As coordenadas são: 1 2 - i 1 2 , - 1 2 - i 3 2 , 1 2 + i 1 2

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