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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 11

Seja A = 1 3 - 1 2 0 5 6 - 2 4 a matriz de T : P 2 → P 2 em relação às bases B = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , em qu v 1 = 3 x + 3 x 2 , v 2 = - 1 + 3 x + 2 x 2 , v 3 = 3 + 7 x + 2 x 2 .

  1. Encontre T v 1 B , T v 2 B e T v 3 B .
  2. Encontre T ( v 1 ) , T ( v 2 ) e T ( v 3 ) .
  3. Encontre uma fórmula para T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 .
  4. Use a fórmula obtida em (c) para calcular T 1 + x 2 .

Passo 1

Show de bola então galera, nós já temos a matriz T B que é a matriz dada A , como sabemos que dada a base B = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 }

T B = T v 1 B T v 2 B | T v 3  

Ou seja

A = T v 1 B T v 2 B | T v 3

A = 1 3 - 1 2 0 5 6 - 2 4

Logo T v 1 B = 1 2 6 , T v 2 B = 3 0 - 2 e T v 3 B = - 1 5 4

Passo 2

Então na letra (b), como já temos T v 1 B , T v 2 B e T v 3 B sabemos que dado T v i B = a b c

T v i = a 3 x + x 2 + b - 1 + 3 x + x 2 + c ( 3 + 7 x + x 2 )

Para T ( v 1 )

T v 1 = 3 x + x 2 + 2 - 1 + 3 x + x 2 + 6 ( 3 + 7 x + x 2 ) = ( 16 + 51 x + 19 x 2 )

Para T ( v 2 )

T v 2 = 3 3 x + x 2 + 0 - 1 + 3 x + x 2 - 2 ( 3 + 7 x + x 2 ) = ( - 6 - 5 x + 5 x 2 )

E para T ( v 3 )

T v 2 = - 3 x + x 2 + 5 - 1 + 3 x + x 2 - 4 ( 3 + 7 x + x 2 ) = ( 7 + 40 x + 15 x 2 )

Portanto T v 1 = 16 51 19 , T v 2 = - 6 - 5 5 e T v 3 = 7 40 15

Passo 3

Na letra (c) galera, como já temos T v 1 , T v 2 e T v 3 , vamos montar uma matriz só e encontrar a fórmula.

T v 1 = 16 51 19 ,     T v 2 = - 6 - 5 5 ,     T v 3 = 7 40 15

Logo

T v 1 → v 2 → v 3 → = 16 - 6 7 51 - 5 40 19 5 15 ⇒ T 0 - 1 3 3 3 7 3 2 2 = 16 - 6 7 51 - 5 40 19 5 15

T = 16 - 6 7 51 - 5 40 19 5 15 0 - 1 3 3 3 7 3 2 2 - 1

Aplicando a Eliminação de Gauss Jordan obtemos

0 - 1 3 3 3 7 3 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 - 1 3 2 3 - 5 8 3 8 - 3 8 1 8 1 8 - 1 8

0 - 1 3 3 3 7 3 2 2 - 1 = 1 3 - 1 3 2 3 - 5 8 3 8 - 3 8 1 8 1 8 - 1 8

Portanto

T = 16 - 6 7 51 - 5 40 19 5 15 1 3 - 1 3 2 3 - 5 8 3 8 - 3 8 1 8 1 8 - 1 8 - 1 = 239 24 - 161 24 289 24 201 8 - 111 8 247 8 61 12 - 31 12 107 12

T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = 239 24 - 161 24 289 24 201 8 - 111 8 247 8 61 12 - 31 12 107 12 a 0 a 1 a 2

T ( x ) = 239 a 0 - 161 a 1 + 289 a 2 24 + 201 a 0 - 111 a 1 + 247 a 2 8 x + 61 a 0 - 31 a 1 + 107 a 2 12 x 2

Passo 4

Então para T 1 + x 2

T 1 + x 2 = 239 24 - 161 24 289 24 201 8 - 111 8 247 8 61 12 - 31 12 107 12 1 0 1 = 22 56 1 4

T 1 + x 2 = 22 + 56 x + 14 x 2

Resposta

  1. T v 1 B = 1 2 6 , T v 2 B = 3 0 - 2 e T v 3 B = - 1 5 4 .
  2. T v 1 = 16 51 19 ,     T v 2 = - 6 - 5 5 ,     T v 3 = 7 40 15 .
  3. T ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = 239 a 0 - 161 a 1 + 289 a 2 24 + 201 a 0 - 111 a 1 + 247 a 2 8 x + 61 a 0 - 31 a 1 + 107 a 2 12 x 2 .
  4. T 1 + x 2 = 22 + 56 x + 14 x 2 .
Ver Outros Exercícios desse livro

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Seja B = { u 1 , … , u n } uma base do espaço vetorial V e seja C = { v 1 , … , v n } onde v i = u n - i + 1 . Provar que C é uma base de V e calcular a matriz de mudança de B para C .
Seja B = { u 1 , … , u n } uma base do espaço V e seja C = { u 1 , u 1 - u 2 , … , u 1 - u n } . Mostrar que C é tambpem uma base de V . Achar as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B
Determinar as coordenadas de 1 - 2 i ∈ C em relação à seguinte base de C sobre R : 1 - i ,1 + i .
Determinar as coordenadas do vetor 1,1 , i ∈ C 3 em relação à seguinte base 1,0 , 0 , 0 , i , 0 , 1 , i , 1 + i .
Determinar as coordenadas do vetor u=( 4 ,- 5 ,3 ) ∈ R 3 , em relação às seguintes bases:a) canônica;b )1 ,1 ,1 ,1 ,2 ,0 ,3 ,1 ,0 ;c) 1 ,2 ,1 ,0 ,3 ,2 ,1 ,1 ,4 .