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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 5

Sejam { e 1 ,   e 2 ,   e 3 ,   e 4 } a base canônica de R 4 e T   :   R 4   →   R 3 a transformação linear dada por

T e 1 = ( 1 ,   2 ,   1 )

T e 2 = ( 0 ,   1 ,   0 )

T e 3 = ( 1 ,   3 ,   0 )

T e 4 = ( 1 ,   1 ,   1 )

(a) Encontre bases para a imagem e o núcleo de T.

(b) Encontre o posto e a nulidade de T.

Passo 1

Vamos lá! Sendo nosso operador dado por:

T e 1 T e 2 T e 3 T e 4 = A

A = 1 0 1 1 2 1 3 1 1 0 0 1

Para encontrarmos I m ( T ) :

Vamos fazer os seguintes passos pra nossa matriz ficar composta somente por valores unitários ou nulos, Assim:

S u b t r a i m o s   a   s e g u n d a   l i n h a   p e l o   d o b r o   d a   p r i m e i r a . → s e g u n d a   l i n h a

A g o r a   s u b t r a i m o s   a   t e r c e i r a   l i n h a   p e l a   p r i m e i r a . → t e r c e i r a   l i n h a

Assim nossa matriz fica:

1 0 0 1 0 1 0 - 1 0 0 - 1 0

Como nossa tentativa de resolver o sistema não faz a matriz deixar de ser linearmente dependente, nós temos que a matriz base do nosso sistema é:

T e 1 T e 2 T e 3 = 1 0 1 2 1 3 1 0 0 = I m ( T ) tendo em vista que:

T e 4 é combinação dos outros vetores, então não é necessário na nossa matriz base.

Passo 2

  1. Para encontrar o N u c ( T ) temos que:

    Sendo um vetor qualquer v = ( a ,   b ,   c , d ) .

    A ⋅ v = 0

    1 0 1 1 2 1 3 1 1 0 0 1 ⋅ a b c d = 0

    a + b + c = 0 2 a + b + 3 c + d = 0 a + d = 0

    A resposta do nosso sistema é:

    a = - d ,   b = d   e   c = 0

    Assim:

    N u c T = - 1 1 0 1

    Passo 3

Analisando as respostas do item anterior temos:

1 0 1 2 1 3 1 0 0 = I m ( T )

N u c T = - 1 1 0 1

T   :   R 4   →   R 3

D i m I m T + D i m N u c T = 3 + 1 = 4 = n

Logo:

N u c T = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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