Sejam F e G dois operadores lineares de um espaço vetorial V . Mostre que ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G . Dê um exemplo onde vale a igualdade.

Passo 1

Vamos lá! Para entendermos o funcionamento desta questão, temos que entender bem o funcionamento do núcleo de uma função.

Para uma transformação T , o núcleo é o conjunto dos vetores v tais que T v = 0 .

Então, temos que entender como funciona o núcleo do operador G e do operador composto F ∘ G .

Passo 2

Começaremos entendendo pelo nosso operador G . Seja v ∈ V pertencente ao núcleo de G , então,

G v = 0

Para o operador composto, temos?

F G v = F 0 = 0

A relação acima é satisfeita pela definição dos operadores, pois F 0 = 0 . Portanto, acabamos de provar que o núcleo de G está contido no núcleo do operador F ∘ G

OBS: outra forma de visualizar é lembrar que a imagem de G é o domínio de F ∘ G . Portanto, quando a imagem de G for igual a 0, este 0 será o domínio de F ∘ G .

Passo 3

Para finalizarmos a questão, ela pede para darmos um exemplo quando vale a igualdade da relação ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G .

Esta igualdade significa dizer que o núcleo de G é o núcleo de F ∘ G . E isto só ocorrerá de uma única forma, quando os operadores G e F ∘ G forem um automorfismo. Também poderíamos dizer que estes operadores são injetores. Outra forma de dizer é que o núcleo deles é dado pelo vetor nulo.

Todas as formas acima remetem a mesma informação.

Portanto, existem infinitos exemplos para a relação acima. Basta encontrar algum que o satisfaça.

Resposta

Para que a igualdade da relação seja válida, os operadores G e F ∘ G devem ser um automorfismo.

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