Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 7
Sejam e dois operadores lineares de um espaço vetorial . Mostre que . Dê um exemplo onde vale a igualdade.
Passo 1
Vamos lá! Para entendermos o funcionamento desta questão, temos que entender bem o funcionamento do núcleo de uma função.
Para uma transformação , o núcleo é o conjunto dos vetores tais que .
Então, temos que entender como funciona o núcleo do operador e do operador composto .
Passo 2
Começaremos entendendo pelo nosso operador . Seja pertencente ao núcleo de , então,
Para o operador composto, temos?
A relação acima é satisfeita pela definição dos operadores, pois . Portanto, acabamos de provar que o núcleo de está contido no núcleo do operador
OBS: outra forma de visualizar é lembrar que a imagem de é o domínio de . Portanto, quando a imagem de for igual a 0, este 0 será o domínio de .
Passo 3
Para finalizarmos a questão, ela pede para darmos um exemplo quando vale a igualdade da relação .
Esta igualdade significa dizer que o núcleo de é o núcleo de . E isto só ocorrerá de uma única forma, quando os operadores e forem um automorfismo. Também poderíamos dizer que estes operadores são injetores. Outra forma de dizer é que o núcleo deles é dado pelo vetor nulo.
Todas as formas acima remetem a mesma informação.
Portanto, existem infinitos exemplos para a relação acima. Basta encontrar algum que o satisfaça.
Resposta
Para que a igualdade da relação seja válida, os operadores e devem ser um automorfismo.